UNTERSUCHUNGEN ÜBER D. FLÄCHEN MIT PLANEN U. SPHÄRISCHEN ETC. 21 



es ist also r von v unabhängig. Bekanntlich ist die Fläche in diesem 

 Falle die Envelopjje einer Kugelfläche von variabelm Eadius, deren 

 Mittelpunkt eine beliebige Curve doppelter Krümmung beschreibt. Der 

 analytische Beweis mittelst der Gleichungen 3) und 5) von II möge 

 seiner Einfachheit halber hier angemerkt werden. Man setze in den be- 

 merkten Gleichungen r" = TJ, wo JJ eine Function von ii ist. Die be- 

 merkten Gleichungen geben durch Elimination von cosa", cos 6", cosc": 



dx j.jdcosa dy 



dv 



dv ' dv 



dv ' dv 



dcosc 

 dv 



Sind I, t], ^ nur von u abhängig, so geben die vorstehenden Glei- 

 chungen integrirt: 



14) 



15) 



16) 



x — § = — Ucosa, y — r\ =. — fcos z — t = — ZJcosc. 



Aus diesen Gleichungen erhält man weiter: 



dl dx , T-rdcosa , dU 



-~ = -j — h ü— [--—Cosa, 



au du du du 



dri dy , ^ydcosh dU 



<Jt^ = /+^^7 h:7-cos&, 



du du du du 



dt dz , ^,dcosc , du 



= ^+ h-i-cosc. 



du au du du 



Die Summe der Quadrate der Gleichungen 14) führt auf: 



Die Gleichungen 14) respective mit den Gleichungen 15) multipli- 

 cirt und dann addirt geben : 



17) 



^ du 



U 



dU 

 du ' 



Die Verbindung dex Gleichungen 16) und 17) führt unmittelbar 

 auf die obige Behauptung. Wenn auch die Enveloppe einer Kugel- 

 fläche nur einen besondern Fall der Flächen bildet , für welche ein Sy- 



