UNTERSUCHUNGEN ÜBER D. FLÄCHEN MIT PL ANENU. SPHÄRISCHEN ETC. 23 



chung 20) involvirt, ist gleich einer beliebigen Function von v zu setzen. 

 Da diese Differentialgleichung weiter unten behandelt ist, so möge hier 

 ihre Aufstellung genügen. 



IV. 



Flächen, für welche ein System von Krümmungslinien plan ist. 



A. Die Ebenen der planen Krümmungslinien sind den Nor- 

 malebenen einer Gurve doppelter Krümmung parallel. 



Die analytische Lösung des Problems : die Flächen mit nur einem 

 System planer Krümmungslinien aufzustellen, lässt sich sehr übersicht- 

 lich durchführen , wenn die Ebenen des planen Systems den Normal- 

 ebenen einer Curve doppelter Krümmung parallel genommen werden. 

 Es kommen dann die I gegebenen Gleichungen zur Anwendung , wo- 

 durch die Darstellung sehr an Einfachheit gewinnt. Zu diesem Zweck 

 soll angenommen werden , dass die Linien des Systems {v) plan sind, 

 dass ferner das Argument u des andern Systems von der in I vorkom- 

 menden Variabein s abhängig ist. Allgemeiner kann man u und s als 

 gegenseitig von einander abhängig nehmen , oder als Functionen einer 

 dritten Variabein , für welche sich von selbst eins der geometrischen 

 Elemente der Curve darbietet, deren Bogen durch s bezeichnet ist. 



Nimmt man die Ebenen der planen Krümmungslinien parallel den 

 Normalebenen einer Curve im Räume an, so setze man in den Glei- 

 chungen 6) von III z= a, = ß, n, = y, so dass also: 



( cosce = Cosa cos (J — cosa'sinff, 

 l) ' cos^ = cos&cos(7 — cosö'sinö', 



l cos = cos ccos (7 — cos c' sin ff. 



In diesen Gleichungen sind also cc, ß, y und o nur von s abhängig. 

 Zu den Gleichungen l) tritt noch die Gleichung 7) von II, nämlich: 



