36 ALFRED ENNEPER, 



Durch Elimination von T zwischen den Gleichungen 23) und 24) 



folgt: 



. .\ Q i—du . - , , o dS2 



41) —yU — sind = X cos Ä -4- y cos cos V — — — . 



r dw r d(o 



Durch diese Gleichung und die zweite Gleichung 40) ist sJe be- 

 stimmt. DifFerentiirt man die zweite und dritte Gleichung 4 0) nach v, 

 multiplicirt die so erhaltenen Gleichungen respective mit cos^ und sin^, 

 bildet die Summe dieser Producte , so ergiebt sich in Folge der Glei- 

 chungen 1 2) : 



d'{W-\-J ) 



der ^ , , rx 7 sin [0 — (p) „d(W-{-J) , dV 1 



''^ + 



dV dV 



Verbindet man mit dieser Gleichung die Gleichungen 6) und 20), 

 so hat man zur Bestimmung vonr": 



^ V i y 1 i_cos(Ö— y) dV 



1 — cos(ö — 9?) dV^ 



Mittelst der Gleichungen 40) und 43) lässt sich noch ein 

 merkwürdiger Satz verificiren , dessen Beweis sich einfacher mit Hülfe 

 der in I und II gegebenen allgemeinen Formeln führen lässt. Man 

 trage auf den Normalen längs einer bestimmten planen Krümmungs- 

 linie [v] den entsprechenden Hauptkrümmungshalbmesser r" ab. Die 

 Endpunkte liegen dann auf einer Curve , welche die Helix einer 

 beliebigen Cylinderfläche ist. Dieses ergiebt sich analytisch auf fol- 

 gende Weise. Dem Punkte (o?, z) der planen Krümmungslinie ent- 

 spricht der Punkt cosa, y-\-r"cosh, z-\-r"cosc) der bemerkten 

 Curve. Lässt man in diesen Ausdrücken nur v variiren, so ergiebt sich 

 mittelst der Gleichung 2) , dass das Verhältniss von Krümmungsradius 

 dividirt durch Torsionsradius gleich — cotff ist, also in Beziehung auf v 



