UNTERSUCHUNGEN ÜBER D. FLÄCHEN MIT PLANEN U. SPHÄRISCHEN ETC. 37 



constant. Hieraus folgt unmittelbar der bemerkte Satz , dessen Beweis 

 nicht weiter ausgeführt werden soll. 



Die bisherigen Entwicklungen enthalten die allgemeinsten Formeln, 

 welche sich aufstellen lassen. Sie erfordern einige Modificationen, wenn 

 die Curve, deren Normalebenen die Ebenen der planen Krümmungslinien 

 parallel sind, in eine ebene Curve oder in eine Gerade übergeht. Hierzu 

 kann man noch einen dritten Fall beifügen, wenn die Ebenen der planen 

 Krümmungslinien die Normalen längs jeder Curve enthalten. Es ist 

 dann bekanntlich gleichzeitig die Krümmungslinie auch geodätische Linie. 

 Dieser Fall, welcher zunächst betrachtet werden soll, lässt sich viel ein- 

 facher direct behandeln , als wenn die allgemeinen Formeln zu Grunde 

 gelegt werden. Es sind dann Reductionen vorzunehmen, die etwas weit- 

 läufig ausfallen, wenn die Resultate in ihrer einfachsten Form auftreten 

 sollen. Aus diesem Grunde sind die geodätischen Krümmungslinien be- 

 sonders behandelt. 



B. Die Ebenen der planen Krümmungs linien enthalten die 



Normalen zur Fläche. 



Enthält die Ebene der planen Krümmungslinie , welche durch den 

 Punkt {x, y, z) der Fläche geht, die Normale derselben, so ist cos« cosc; 

 + cos&cos^-]-cosccos/ = 0 , d.i. nach 10) cosd = 0. Die Gleichung 

 9) wird einfach 



dO l , . de 



— — — d. 1. — =1, 



ds r dw 



also 6 = a)-\-xp, wo ip eine Function von v ist. Setzt man p = 0, so 

 gehn die Gleichungen 3), 24), 25) und 26) über in: 



X cos cc -{-1/ cos ß-\-z cos y = Si, 



xcos A-{-y cos fi-\- zcosv z= -\-T, 



r dw 



44) 



[xcosl -\-y cos m-\-z cos n) = d 1 Si. 



' ' dü) ~ o 



