50 ALFRED ENNEPER, 



Sieht man X, Y als die Coordinaten eines Punktes einer ebenen 

 Curve an, so ist nach 82) yj der Winkel, welchen die Normale der Curve 

 mit der Axe der cc bildet. Die beiden Gleichungen 81) und 83) zeigen, 

 unmittelbar , dass eine Fläche mit einem Systeme von planen Krüm- 

 mungslinien in parallelen Ebenen , die Enveloppe einer Rotationsfläche 

 ist, welche sich so bewegt, dass ein fester Punkt der Rotationsaxe eine 

 plane Curve durchläuft, deren Ebene zur Rotationsaxe senkrecht ist. 



E. Die planen Krümmungslinien sind Geraden. 

 Developpabele Flächen. 



Nimmt man in den Gleichungen 23) und 25) von II = oo, so 

 ist auch /' = oo unc^ G von u unabhängig. Die Krümmungslinie jist 

 eine Gerade, die Fläche developpabel. Wird eine developpabele Fläche 

 als Tangentenfläche einer Curve doppelter Krümmung angesehn, so lassen 

 sich die in I entwickelten Gleichungen mit Vortheil anwenden. Liegt 

 der Punkt (a?, j/, z) auf der Tangente des Punktes (|, rj, ^), so bestehn 

 die Gleichungen : 



84) X = §-\-{v — s) cos cc, 1/ = f}-{-[v — 5) cos/?, z = C-\-{v — s)cosy. 



Die Curven für welche s oder v allein variirt sind Krümmungslinien. 

 Da die Krümmungsebene der Curve im Punkte (^, rj, ^) die berührende 

 Ebene der Fläche im Punkte (x, y, z) ist, so finden die Gleichungen 

 statt : 



85) cosa = cos^, cos 6 — cosw, cosc = cosw. 



Unter Zuziehung der Gleichungen von I, der Gleichungen 2), 3) 

 und 4) von II erhält man aus 84) und 85), wenn u — s genommen wird : 



86) \/s = 'i=f, ve = i, \?=-^, 



^ ^ Q ^ r r sjEG dv q 



Im Fall einer conischen Fläche reducirt sich die Wendecurve auf 

 einen Punkt. Die Generatricen der Fläche können den Tangenten einer 



