UNTERSUCHUNGEN ÜBER D. FLÄCHEN MIT PLANEN U. SPHÄRISCHEN ETC. 5 3 



r - /Ii • A^ 9 , . r , d^COSG-\ 



[ — siny-|~cotz'Sin ffcose/J— H-cotr cosff-| = 0. 



r L ds^ J 



Durch Elimination von 6 zwischen dieser Gleichung und der Glei- 

 chung 4) folgt endlich: 



In der Gleichung 6) hängt r nur von v ab , alle anderen vorkom- 

 menden Quantitäten sind Functionen von ti oder s. Die Gleichung 6) 

 kann nur unter den beiden Bedingungen bestehn , es ist t constant, 

 oder der Factor von cott verschvi^indet. Für ein constantes r ist nach 

 4) ö von V unabhängig, die Fläche ist dann developpabel. Nimmt man 

 T constant, hält die Gleichung 5) zusammen mit den Gleichungen 86) 

 und 88) von IV, so ist dort das Verhältniss des Torsionsradius zum 

 Krümmungsradius der in Betracht kommenden Curve dopj)elter Krüm- 

 mung constant. Dieselbe ist die Helix einer beliebigen Cylinderfläche. 

 Fügt man noch die cylindrischen Flächen hinzu , so ergeben sich fol- 

 gende developpabele Flächen, deren beide Systeme von Krümmungslinien 

 plan sind: 1. Tangentenfläche der Helix einer beliebigen Cylinderfläche, 

 2. die Fläche des Kreiskegels, 3. jede Cylinderfläche. 



Ist T nicht constant, so muss in 6) der Factor von cot^r verschvi^in- 

 den. Es folgt dann 



1 = 0, 

 r 



also r = oo. Die Ebenen der Krümmungslinien [v] sind die Normal- 

 ebenen einer planen Curve. Für r = oo reducirt sich die Gleichung 



6) auf: 



7) COS.+-^^=0. 



Ist k eine Constante, kleiner oder gleich der Einheit, ein con- 

 stanter Winkel, so giebt die Gleichung 7) integrirt cosa = kcos{s — s^). 



