UNTERSUCHUNGEN ÜBER D. FLÄCHEN iMIT PLANEN U. SPHÄRISCHEN ETC. 79 



Durch die Gleichungen 4 5), 62), 67) und 69) ist die letzte An- 

 nahme, abgesehn vom besonderen Falle k = 1, welche die Betrachtung 

 der Flächen mit einem Systeme planer und einem Systeme sphärischer 

 Krümmungslinien erfordert, vollständig erledigt. Die angeführten Glei- 

 chungen scheinen für weitere Untersuchungen von speciellen Fällen be- 

 sonders geeignet zu sein. Es sind die Gleichungen 70), 7 1) und 72 

 nur aufgestellt zur Herleitung eines Systems, welches von Herrn Bonnet 

 herrührt. (Journal de l'Ecole Polyt. t, XX p. 207 u. 208). Zu diesem 

 Zwecke ersetze man die Gleichungen 4 5) durch die folgenden: 



^ x cos cc-\-t/ cos ß-{-z cos y = 0. 



\ z = R. cos T sin ^y+sinöfsinöcosz' — cosöcoswH 



73) { 



-j- j sin T (cos ö cos -|- sin ö cos /^] 

 aj^-^i/^-]-{z—kR^cosT)^={R^cosT)'-\-{R^smTy. 



Die zweite dieser Gleichungen lässt sich nach 67) auf folgende 

 Form bringen, wobei sin^ff — k^sin^y =■ 1 — k^ gesetzt und der Werth 

 von JBjSinT aus 62) eingeführt ist: 



R^ cosTsin(i// — t)-\-d?^^^cos{yj — t) 



74) s = (l—k'}smy. ; j—. ^-^ — • 



' \ / / gjjj^ — ksmysm[ip — t) 



Durch Verbindung der Gleichungen 62), 71) bis 74) erhält man 

 ohne Mühe das von Herrn Bonnet gefundene System, welches bei be- 

 sonderen Anwendungen weniger einfach zu sein scheint, wie die oben 

 erwähnten Gleichungen 45), 62), 67) und 69). 



Die bisher aufgestellten Gleichungen schliessen den Fall ^ = 1 

 aus, welcher sich ohne grosse En twickelungen erledigen lässt. Für k=l 

 folgt aus 44) o = y. Nimmt man in den Gleichungen 51) und 57) 

 k =^ 1, ff = 0, so gehn dieselben in 



COSWCOS9)— cosi'sin^) = sintr = sin/, cosi^cosy-j-coswsin^) = 0 



über. Aus den vorstehenden Gleichungen ergeben sich für cosy und 

 sm<p folgende Werthe: 



