UNTERSUCHUNGEN ÜBERD. FLÄCHEN MIT PLANENU. SPHÄRISCHEN ETC. 85 



VII. 



lieber eine Erweiterung des Begriifs von Parallelflächen. 



Anwendung auf die Flächen mit einem Systeme planer 



K r ü m m u n g s 1 i n i e n. 



Die Eigenschaft zweier Parallelflächen, dass den Krümmungslinien 

 der einen Fläche auch Krümmungslinien der andern Fläche entsprechen, 

 kann zur Vereinfachung von Untersuchungen dienen, welche sich auf 

 die bemerkten Curven beziehn. Ein Beispiel hierzu bietet die auf p. 

 64 u. f. gegebene Darstellung. Die „Nachrichten von der K. Gesell- 

 schaft der Wissenschaften aus d. J. 187 0" enthalten p. 7 0 — 82 eine 

 Erweiterung des Begrifl's von Parallelflächen, nebst einigen Andeutungen 

 über die Anwendung davon auf plane Krümmungslinien. Eine kurze 

 Ausführung dieser Andeutungen , nebst Herleitung einiger ohne Beweis 

 aufgestellten Resultate, bildet den Gegenstand der folgenden Darstellung. 



Zwei Flächen S und 8^ mögen sich so entsprechen, dass die Nor- 

 malen zu denselben in zwei correspondirenden Punkten P und ein- 

 ander parallel sind. Unter Beibehaltung der in II gegebenen Bezeich- 

 nungen, folgt, dass in den Punkten P und P^ die Winkel a, b, c die- 

 selben Werthe haben, dasselbe ist also auch der Fall mit dem Ausdruck: 



d cos ad Cosa cos b dcos b ^ dcoscdcosc 

 du dv du dv du dv 



Sind nun u und v für die Fläche S die Argumente der Krüm- 

 mungsiinien, so verschwindet der obige Ausdruck. Führt man denselben 

 Ausdruck für die Fläche aus, so erhält man folgendes Theorem, 

 dessen Beweis mit Hülfe allgemeiner Formeln sich ohne Schwierigkeit 

 ergiebt*). 



Theorem. 



Zwei Flächen S und 8^ mögen sich so entsprechen, dass die Nor- 



*) Man vergleiche z. B. die auf p. 235 gegebenen Formeln in den »Nachrichten 

 d. K. G. d. W. a. d. J. 1867.« 



