UNTERSUCHUNGEN ÜBER D. FLÄCHEN MIT PLÄNEN U. SPHÄRISCHEN ETC. 87 



dieselben Werthe, also auch alle andern Ausdrücke, welche von diesen 

 Quantitäten abhängig sind. Legt man die Gleichungen 10), 23), 25) und 

 28) von II zu Grunde, so ist: 



/H, _ S/G 



_ /' dv ^„jj _ 1 dsjG r'r" ^r" 



*'2 "~ \/^[i4-(r"irj']^' ' "~ ^^'^ ~~.\/WG du 



0 \I~E \I'G' 



Da also ^ nur von J^-, ^ und den Diiferentialquotienten dieser 



r r 



Quantitäten abhängig ist, so erhält man folgendes 



Theorem, 



Haben zwei Flächen in correspondirenden Punkten parallele Nor- 

 malen, entsprechen die Krümmungslinien einander, so ist das Ver- 

 hältniss des Krümmungsradius zum Torsionsradius für zwei entsprechende 

 Krümmunrgslinien in den beiden correspondirenden Punkten dasselbe. 



Aus dem vorstehenden Satze ergiebt sich unmittelbar, dass einem 

 planen Systeme von Krümmungslinien auf der Fläche 8 auch ein planes 

 System auf der Fläche entspricht. Die besondere, mittelst der Glei- 

 chung III 1 0) leicht zu beweisende, Eigenschaft der Parallelflächen, dass 

 einem System sphärischer Krümmungslinien von 5^ auf S ^ wieder ein 

 derartiges System entspricht, findet für die Gleichungen 1) nicht allge- 

 mein statt. Im Folgenden soll nur auf plane Krümmungslinien Bezug 

 genommen werden. ^ 



Die Gleichung 2) lässt sich auf folgende Art schreiben : 



3) d'&?^ — XZLd^— = 0. 



dv \jEG du dv 



Ist das System von Krümmungslinien , für welches v allein variirt, 

 plan, so findet die Gleichung III 8) statt. Die Gleichung 3) geht dann 

 über in: 



r_dl 



jSjEdu . , dt 

 d ^ , -j-cotff-7- — 0. 

 dv dv 



