6 ERNST SCHERING, 



worin 2ln5({x) die Anzahl der Werthe bezeichnet, welche {j, durchlaufen 

 soll. Diese letzte Gleichung [10] hätte man aus der obigen [9] auch mit 

 Hülfe des Satzes ableiten können, dass die absolut kleinsten Bruchreste 

 von zwei Grössen, welche sich nur durch das Vorzeichen unterscheiden, 

 entweder beide gleich 0 oder beide gleich sind oder endlich sich 

 nur durch das Vorzeichen unterscheiden. 



Die Gleichungen [9j und [10] können wir, wenn wir 



[11] n^ + 1 



setzen , in 



oo . 



[12] . . . 2lnL5rJe92l53^^= + n2ln52ln3J5of^-hi-v 



OO , . 



- n%n%n^^o\ _ v) + i (1 -n)5an3(fx) 



zusammen fassen, worin also m, n, jx positiv sind und keiner der Werthe 

 — , — + 4^ eine ganze Zahl wird. 



Wollte man die letztern Beschränkungen vermeiden, so hätte man 

 die Null werthe derjenigen Functionen mit zu berücksichtigen, welche in 

 der Gleichung [12] nur mit ihren Vorzeichen in Betracht kommen. 



Durch die Gleichung [12] bestimmt sich der zusammengesetzte qua- 

 dratische Rest-Character der ganzen Zahl nw in Bezug auf den ganz- 

 zahligen Modul m, wenn m relativ prim zu 2 w ist und wenn man die 

 Werthe 



durchlaufen lässt; hier wird also 2tti5(|JL) = 



Setzen wir [x = ^ ■ '^^ — jx', so durchläuft (x' dieselben Werthe wie |x 



nur in entgegengesetzter Reihenfolge. Da solche aber auf die Anzahl 

 der Vorzeichen der Werthe einer Function keinen Einfluss hat, so können 

 wir diese Einsetzung z. B. bei dem ersten Gliede der zweiten Seite der 



