2 A. A. Марковъ, 



Для той же цѣлой Функціи можно указать много другихъ выраженій, которыя не 

 трудно вывесть изъ предыдущаго: стоитъ только принять во вниманіе извѣстную таблицу 

 24-хъ интеграловъ диФФеренціальнаго уравненія гипергеометрическаго ряда и соотношенія 

 между ними. 



Мы можемъ представить ее, напримѣръ въ видѣ другаго произведеиія 



(a;_l)-«-ßF(a, Y-ß, у - а, ß_a-^l,.^4^) 



и въ видѣ суммы 



А {F (а, ß, Y, -H Bx'-'-^ [F {a 1 - y, ^ l - y, 2 - y, 



гдѣ 



_ ( _l)tx-t-ß y) r(a-t-l-ß) Г(Р-ч-І-а) „ _ (— l)«+ß-2V (у) Р (1 - т)Г (я-ьі-ß) Г а) 



^ ■Г(1-а)Г(1-р) Г(а-і-1-у)Г((і-і-1-ѵ) ^ — (2-у) Г (у-а) Г (y-ß) Г (а) Г ([і) 



Основываясь на этихъ выраженіяхъ и на замѣчательной теоремѣ Г. Клейна о нуляхъ 

 гипергеометрическаго ряда ^), нетрудно опредѣлить сколько разъ разсматриваемая нами 

 цѣлая Функція обращается въ нуль для всѣхъ вещественныхъ значеній х и для каждаго изъ 

 трехъ промежутковъ 



(-СЮ, 0), (О, 1), (1, -*-оо) 



отдѣльно; мы предполагаемъ здѣсь а, ß, у вещественными. 



Нетрудно также вычислить произведеніе квадратовь разностей всѣхъ значеній х, 

 обращающихъ ее въ нуль: стоитъ только принять во вниманіе диФФеренціальное уравневіе 



х{1-х) z z-2x{l-x)sz"-2 (у-(ан-[4-і-1) x) sz -^Aa^zs=—{ct-^f x^'''^x-\f^"'~^^-\ 



которому удовлетворяетъ 



^zzz^-'^-ßi^(a, a-+-l-y, cc-y-t-1, ^(ß, ß-ні-у, ß-a-i-1, 1). 



Эти замѣчанія были мною изложены въ двухъ краткихъ письмахъ къ Г. Клейну ^). 



Здѣсь же я предполагаю вывесть вышеупомянутыя предложенія о значеніяхъ ж, обра- 

 щающихъ нашу Функцію въ нуль, независимо отъ ея связи съ гипергеометрическими 

 рядами и слѣдовательно независимо отъ теоремы Г. Клейна. 



Вмѣстѣ съ тѣмъ мы предсгавимъ въ видѣ различныхъ суммъ нѣсколькихъ гипергео- 

 метрическихъ рядовъ высшаго порядка не только ту цѣлую Функцію, о которой шла рѣчь 

 выше, но и Функцію болѣе общаго характера, опредѣляемую какъ интегралъ одного диф- 

 Ференціальнаго уравненія третьяго порядка. 



1) Felix Klein, lieber die Nnllstellen der hypergeometrischen Eeihe (Mathematische Annalen XXXVII). 



2) Mathematische Annalen, Band 40. 



