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E. Catalan, 



on 



X= oo. 



B(j), q-t- m) TT {g -H \) {p Ч- m -t- \) ^ 



n {q ■+- \) (p -i- m \) ц .дрч 

 (« H- X) (g -H »« X)* ' ' 



^ (il P "0 (p h- X) (g -h »w X) 



X = o 



15. Les conséquences de cette nouvelle formule sont fort nombreuses. Elle donne 

 d'abord 



X = oo * 

 Б (Y, Y - a - ß) _ TT (Y - g ч- X) (y - ß -f- X ) ..ç,. 



Б (Y - a, Y - ß) il (Y -ь X) (Y - a - ß -t- X)* ^^''^ 



X = o 



Ainsi, la série de Gauss est développée en produit indéfini. 



En second lieu, si^, g, m sont des nombres entiers, la relation (42) permet de déve- 

 lopper, en produit indéfini, une quantité rationnelle. -) 

 Soient, par exemple : 



p = 2, q — l, m = S. 



On a 



Г (p) T {g -t- m) 1.2.3 1 



T {q)T {p m) 1.2.3.4 4 ' 



1) Le raisonnement employé ci-dessus (9) montre que le produit est çonvergent. Voici d'ailleurs une seconde 

 démonstration, plus simple que la précédente. 

 On sait que 



k==co _ 



к -i- p — 1 



b.T{p)= 2 [(i>-l)L.(l-4-^)-L 



Il résulte immédiatement, de cette relation, 



^ T{p)T{q^m ) ^ 

 Г (g) Г (IJH- m) 



t = oo 



2i — h : ^ h — Te ^ 



2^ 



(k Ч- g — 1) (k -t-p -t-m — 1) , 

 (k-i-p — l) (fc -H g -1- m — 1) ' 



ou, par le changement de ä en X -t- 1 : 



X=OD 



Г (p) Г(д-+-т) TT (g -4- X) (j) -H m -4- X) , 



Г (q) r{p-t-m) ДІ (p -H X) (2 Ч- m X) ' 



etc. 



2) Cette quantité est le rapport entre les deux nombres combinatoires: 



С с 



m -t-p -t- q — 2, p — 1 ' m-t-p ~t- q — 2 , 17 — Г 



/ 



