ReCHEKCHES Süß LA CONSTANTE ET SUE LES INTJÉGEALES EULEEIENNES. 17 



M. Bertrand, par un procédé tout autre, a déterminé cette valeur; mais sa méthode 

 est un peu longue. Voici celle que j'expose dans mon cours. 

 Soit, comme précédemment (11), 



(р(ж) = Ь.Г(ж). (51) 

 On a, par une formule connue, dont la vérification est facile : 



/•00 



1 1 1\ — 



a e*— 1 



0 



^^e~''''dx\ (52) 



(ж H- 1) = к xh.x — X -t- ^L.x -i- w{x)', 



ф'(ж -ь 1) = Ь.ж -ь ^ 

 et, en conséquence, 



Фі 



ou, plus simplement, 



^^x) = к (x ~~ ^ h.x — ж -H m{x): (53) 



к est la constante d'intégration, qu'il s'agit de déterminer. 

 La formule de Legen dre : 



équivaut à 

 Or: 



г (2a;) — 1 „ / 1^ 



ф(2ж) — ф(ж) — ф (^ж -H = (2ж — 1) L.2 — lh.%. (54) 

 (і^ (x ч- ^ = к -i- X L Jx -t- — * — ^-ьго(ж-і- 



ф(2ж) = к (2х — Ь.{2х) — 2х ~t- гп(2ж); 

 donc le premier membre de l'égalité (54) a pour valeur: 



— /си- (^2x — L . 2 H- ж L • ■+- l -+■ то (2ж) — п? (ж) — m (^х -+- 

 Après, quelques réductions, cette égalité se transforme en 



— к — xh.(^l ^ \ (2ж) — ^і^) — г5 ^ж ч- = — ^ L . (27і:), 

 Si l'on fait croître ж indéfiniment, le premier membre tend vers (~~ k). 



1) Calcul intégral, ізр. 265, 266. 



2) A cause de 



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