22 E. Catalan, 



Il est clair que: x est commensurable , la différence ф'(а?) — 9(0 réductible à 

 Vintégrale d''une différentielle rationnelle. 



Quant à la quantité 9' (1) = — C, on n'a pu, jusqu'à présent, l'exprimer sous forme 



finie. 



24. La fraction — est la limite de la série 



Par conséquent, ^ m 1 -1 



î'W-t'(1) = 2[»-.t^^]' (^») 



1 



formule connue, 



25. Il résulte, de cette formule, 



00 



— жф'(1) = '^■{n x — '^)]^ const. 



Pour déterminer la constante, prenons ж = 1 : le terme ф(1) = L . Г(1) s'annule; donc 



00 



— Ф'(1) = 2 К ~ • ^*"^] ''''*'^-' 



et, finalement, 



00 



<P^ = _(^_1)Ch-2[^-L.^^^^]-') (71) 



1 



26. La série contenue dans le second membre serait peu propre au calcul de ф (ж); 

 mais on la transforme aisément. 



A cet effet, rappelons que 



С = 1 



(l-L.f)-b('-L4)-b...^0-L.„-^) 



OU 



00 



2 



Si, après avoir mis à part le terme (x — 1) — L .ж, on remplace G par l'expression 

 précédente, on obtient, au lieu de la formule (71): 



1) Sur la constante cVEuler, .... p. 214. 



2) Henri Limbourg, Théorie de la fonction gamma, p. 70. 



3) Nous avons remplacé cp' (1) par — C. 



4) Mélanges mathématiques, p. 1G4. 



