Recherches sur la constante G, et sur les intégrales eulériennes. 



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oo 



^(^) _ 1) _ L.r. - 1) - 2 [(^ - 1) L. ^:^^^]; 



2 



OU, plus simplement, 



oo ^ 



îW = L.{'nsÂ^^,|- (73) 



1 



Ainsi, la fonction 9 (ж) es^ égale au logarithme népérien d'un produit indéfini. 

 27. Ce n'est pas tout: comme = L . Г (ж), on a, en passant des logarithmes aux 

 nombres, 



г(»-'-і)=п „,!!.-^„'!:,) - ■ (74) 



Cette nouvelle formule équivaut à 



T{x-.l) = lim . [(n ir in = 00). (75) 



Développements en séries. 



28. Si, dans l'égalité 



m{x) — m{x -+- 1) = (x-^ ^h- — 1, (68) 



on change ж en ж -t- 1 , ж h- 2, ... et que l'on ajoute, on trouve 



.(.)="2[H»-0^-^-^->]-') (76) 



№=0 



Le second membre est la Série de Gudermann. Il est facile d'en vérifier la conver- 

 gence. ^) 



En particulier, 



' 0 



1) Celle-ci s'accorde avec la défiiiitiou de Г [x], adojitee par Gauss. 



2) Il ne faut pas oublier que ш (ж и- и) = 0, pour п infini. 



3) Dans les Notes placées à la suite du Calcul intégral de Lacroix (tome II, p. 348), M. Serret démontre la 

 formule de Gudermann pour le cas où x est un nombre entier. Cette restriction, on le voit, est inutile. 



