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E. Catalan, 



III. On sait que 



Donc 



Ce développement de l'intégrale elliptique, F,(^|/j^, me paraît remarquable. 

 42. La formule (1 12) peut être écrite autrement. 



Par un théorème d'Eulcr, 



\2« + 2/ \2ан-2/ 



Г 



OU 



= в 



«4-1 



+ \2«-i-2' 2«4-2/' 



^ (за -I- 2) _i_ T) / " 1 



Г + Tü \2я -H 2 ' 2/' 



\2а + 2/ 



Donc, au lieu de la formule (112), 



f a 1\ 



1, 2a H- 2 ' 2 / ■ a 2 -h 2a 2 h- 3« 4 -+- 4« 



T) / n l\ 1 -H a 1 ч- 2rt 3 -f- 3a 3 4- 4a /1 1 7\ 



Si l'on fait 



a 



2a -H 2 



on trouve 



puis 



1 — 2p^ 1 — 22J ' 1 — 2p ' 1 — 2/) ' 



3 -f- 3rt = 2-b 3« = , . . . ; 



1 — 2^) ' 1 — 2^3 ' 



1 -b a 2. 1 l.-^2p 3-t-oa 3 3 h- 4a 3 2p 



~сГ' 2p' 2-t-2a 2 ' 2 -h 3a 2 -ь ' 4 -h 4a 4 



Ü L Л _ ^ 1 1 4- 2p 3 3 + 2iJ 5 5н-2р . 



ß І/Л 2І ~ ^ 2iJ * 2 ■ 2-1-22) ' 4 ' 4-1-225 " 6 ' " ' 



1) Sur quelques formules relatives aux intégrales eulériennes, p. 15. 



2) On pourrait le simplifier eacore, du moins en apparence, au moyeu de la valeur 



y„ 226610101414 



^ ^ 1 ■ 3 5 ' 7 ■ 9 ■ 11 ■ 13 * 15 • ■ • 



donnée par Euler {Introduction à V Analyse, tome I, p. 141). Relativement à la quantité (Ѵз); on P^^t consulter 

 le Compte rendu de la Session du Havre (Association française x)Our V Avancement des Sciences). 



