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E. Catalan, 



et la formule (118) devient 



cos 



(2w — 1) (2w — 1 4- g) 1 

 2n (2w — 2 Ч- ^1 



(119) 



Celle-ci, que je crois nouvelle, a des conséquences nombreuses, sur lesquelles je re- 

 viendrai peut-être, dans une autre occasion. En attendant, je fais observer que, si q est un 

 nombre entier^ cette formule (119) donne le développement, en produit indéfini, soit de тс, 

 soit de la fraction 



1.3.5... (g — 2) 

 2 . 4 . 6 . . . ((Z — 1) ■ 



45. Comme dernière application du procédé indiqué ci-dessus (32), cherchons le 

 développement de l'intégrale 



ou 



On a 



donc 



F 



[e'^ — 1)2 dx 



e*-»-e~* — 2 dx 2 



(120) 



(3) г (5) 



Г (7) 



..]; 



F 



[г (5 



(3) Г (5) Г (7) 



ou, si l'on effectue les intégrations : 



00 



^ — ' Ll.2(2w— 1) 3.4(2»г- 1)3 5.6(2»î— 1)5 



...]. (121) 



Pour w = 1 , la série entre parenthèses est un développement de L . 2. Lorsque n 

 surpasse 1, on prouve, aisément, que la somme de cette série est 



13 5 



1) Si q est un grand nombre, les facteurs -, g^r^, Г+?' ^"'^* ^""'^ petits, et les autres sont considé- 

 rables. De là résultent des écarts excessifs entre les résultats que l'on obtiendrait en prenant un facteur, deux 

 facteurs, trois facteurs,.. . C'est pour éviter cet inconvénient que, dans la formule (119), nous avons groupé deux 

 facteurs consécutifs. 



2) D'après la formule (23), 



