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E. Catalan, 



ou 



1 y n 2n—l j 4w (и — 1) 2n— 1 Г 2n j 2n 2n — 2 j 2n — 2 ~] jv 



2 n — 1 ~*~ 2 (2n — \f 2 I2n — 1 2и — 1 2n — 1 ' 2и — ij" 



Il résulte, de cette identité, 



oo 



F = 2 L . 2 - 2 2 (- 1)" ■ 2.5ï - с - 1)L • 1^0- (123) 



2 



Mais, avant de passer des logarithmes aux nombres, on doit modifier les deux termes 

 entre parenthèses, attendu qu'г7s n'ont pas pour limite zéro. ^). 

 Or, 



T 2n , , Ч T 2и — 2 T — 4n т 2« — 1 



n L • r H- {n — 1 ) L • ^ г = nL • TK- -t- L • ^;- 



2и — 1 ^ 2n — 1 (2n — lf 2n — 2 



Par conséquent, 



F = 2L . 2 - 2 L . [(?; (i)' (l-jy . . .] - В . 1 . M . И . .] ; 



puis 



II. La comparaison avec la valeur (122) donne 



7Г 8 ■ 25 ■ 48 ■ 81 • • • ^ Lb ' 4 ■ 7 ■ 8 ■ 11* ■ ' J • U^-iJ 



1) Eu passant, mentionnons Véquivalence entre trois séries. 



On a 



І-ьа; w и — 1 



1 — X n — 1 n 



1 11 11 



1—1 2 (И — 1)2 3 (n — 1)3 



1 J_ J_ 



n 2n^ Зп^ • • • J 



ou, à cause de a; = ^ 



2n - 1 ■ 



О Г— J— 1 1 1 -| 



І2»г — 1 ~*~ 3(2n— 1)3 5(2n~ If ~*~ 7 (2и — 1)? * ' * J 



1 1 1. 1 



n—1 2 (и— 1)2 ^ 3(w — 1)3 4(n— 1)4 



1 J_ 



îi 2и2 Зп^ 4гг* 



2) Le premier tend vers et le second, vers — 



