RECHEECfLES Süß LA CONSTANTE G, ET SUE LES INTÉGEALES EULEEIENNES. 



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Pour trouver de nouveaux développements de G, il nous suffira d'appliquer, aux ex- 

 pressions contenues dans le premier chapitre, les procédées de calcul indiqués ci-dessus. 

 48. La formule (3), que nous venons de rappeler, peut être écrite ainsi : 



T 1 -i- cos ж 7 



L . ах. 



1 — cos ж 



Le développement du logarithme est 



D'ailleurs 



Donc 



2[ 



COSiC 



g СОВГХ -4- ^ С08^Ж -ï- - 



cos XaX — 3.5.7... (2И-1) 



1 2.4 1 2.4.6 



5 3.5 7 3.5.7 



mais la série, bien que convergente ^), l'est très peu. 



49. Prenons encore la formule (3), mise sous la forme 



(131) 



L , cot ^ a da. 



On a 2) 



L . cot ^ = cos a ^ cos 2a -н ^ cos За -ь- g cos 4a 



1) Le terme général est 



On a donc 



1 2.4. 6.. ■ (2w — 2) 



% 2n — l ' 3.5.7. (2и — 1) ' 



2n — 1 2ti 



[n 4-1) 



n 



2и 1 2и -H 1 ' 



2n (n -+- 1) (2n — 1) — и (2и -H If 



puis 



{2n -t- 1)2 



Um. •+- 1) ^^'^^^ ^ — = — \ 



n { 2n -H 3) . 



"(2ичЛ]2^' 



Ainsi, d'après un théorème connu, la série est convergente {Traité élémentaire des séries, p. 23). 

 2) Sur les fonctions de Legendre (second Mémoire, p. 51). Je rappelle que 



(132) 



X - cos a, 



Me'moirea do l'Acad. Imp. des sciences. Vllme Se'rie 



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