Reohekohes sue la constante et sue les intégeales eulékienneb. 47 

 puis, par la formule (143) : 



/•OO 



oo 



_ n 



1 



arctga; dx. ^) . (149) 



57. Pour trouver d'autres développements de (7, il suffit de transformer le premier 

 membre de l'égalité (148). A cet effet, observons que 



ou 



et, par conséquent, 



(arctga;)^=:^^--(lH-^)^4-(lH-J-H^)f~(l-b-lH-l-^l)^H-...^) (150) 



D'un autre côté 



1 = I öfa = [^І^ c?a, 1 H- ^ = I (1 H- «2) (fa = I ^^^-^ c^a, 



J 0 



3 . V,- ; 1 _ «2 



0 «^0 «^0 '^O 



donc le second membre de l'égalité (150) se transforme en 



0 



Si maintenant on multiplie par dx les deux membres, et que l'on intègre entre 0 et 1 

 on trouve 



1) On ne doit pas oublier que égale V excès de la somme des diviseurs de ti, ayant la forme 4[л-+- 1, sur la 

 somme de ceux qui ont la forme 4(л — 1, (31). D'ailleurs, l'intégrale 



г 



e ^'^'^a.Yctgx dx 



•Jo 



ne parait pas exprimable sous forme finie (Bierens de Haan, Tables, seconde édition). 

 2) Ce développement, comparé à celui qui résulte du carré de la série 



X ■+- ^ -H -r . . . , 



donne Videntité, presque évidente : 



n\j ~*~ 3 ~*~ 5 ~^ ' ' • ~^ 2n — l] ~ 1.(2и — 



1) З.(2и — 3) • • * (2и — l).l 



