48 E. Catalan, 



f i^vi^i^xfdx = f ^ [J^ (1 _a^) - (1 - 3-7 (1 - - • •] 



0 *^ 0 



Pour simplifier le second membre, posons 



1.3 2.5 3.7 4.8 



^ a'' a* a* a° 



ГТз 275~*~ 377 ÎTl 



et, comme la première série est un cas particulier de la seconde , sommons d'abord celle-ci. 

 Il est visible que 



a' a* 



a" a' 



OU 



a" a* a° a° 



2 = - — 



1 2 3 



a* a° a' 



3 y y ~ T 



La première partie égale L , (1 ч- a^); la seconde est le développement de — - (a — arctg a). 

 Donc 



2 = — 2 -4- L . (1 H- a^) -t- 2 , 



S = — 2 -*-L . 2 



2' 



= L. 2 — L.(l -ьа2)-4-| — 2 



Au moyen de cette valeur, la relation (151) se transforme en 



artcs; a 



2 /Jnr 



ГУ 



(arctg ж)^ dx 



mais celle-ci est encore réductible. 

 58. Suite. On a: 



L.2 — L.(l-i-a2 



n arctg a 



1 — a2 



4— f^ct-i 



(152) 



L.2 — L.(l-Ha2) = 1— a2_l(l_a*) -+-1(1— аб)— i(l — a«)-4-. . 

 L2--L.a-ba3) _ 1 _ _^ _^ 1 (1 _^ _^ _ 1 (1 ^ „2_^ ^4 _^ ^6) ^ 



L.2 — L.(l-ba2) 

 1 -H a2 



