Beitrag zur Integration der Differentialgleichungen der Störungstheorib 5 



n {1 — o) dt — nda -+- I Д cos na н- 2^42 cos 2wa -*-..,] da. 



nach deren Integration, wenn тс die zweite Integrationskonstante ist, 



и (1 — q) t -i- к = ncL Ä^ sin na. -+- Jg. sin 2na. -+-... 



erhalten wird. Hieraus kann man nun, etwa mit Hülfe des Lagrange'schcn Theorems, 

 cos na nach den Cosinus der Vielfachen des Winkels 



w = n [l — a) t -i- TZ 



entwickeln. Nach Substitution hiervon in (7) und mit Rücksicht auf die Relationen 

 X = 71 cos na. und erhält man schliesslich das gesuchte Integral in der 



Form 



X = cos w -\- Pq Ч- cos гѵ -f- cos 2w -н . . . (3) 



Die Coefficienten j^o, p^t p^-,. > . sind im Allgemeinen recht komplicirte Funktionen von den 

 ß, Y]o und n^. Indessen überzeugt man sich leicht, dass sie von derselben Ordnung wie die 

 Quotienten 



resp. sind. Da sich indessen diese Methode zur Berechnung der Coefficienten weniger 

 eignet, so habe ich es unterlassen hier ihre Wertlie anzugeben. Aus diesem Grunde werde 

 ich jetzt eine zweite Methode mittheilen, die in dieser Hinsicht Nichts zu wünschen übrig 

 lässt. 



Die gewöhnliche Methode die Gleichung (2) durch successive Approximationen zu in- 

 tcgriren besteht ganz einfach darin, dass man von dem Integrale ж = tqq cos {nt -t- тс) der 

 Differentialgleichung 



ausgeht und mit demselben die rechte Seite in (2) berechnet. Man erhält in dieser Weise 

 eine Differentialgleichung von der Form 



— пЧ =2i% cos {\t -t- a^) 



deren Integral im Allgemeinen 



X = щ cos {nt -»- tc) „-^V^ (V 



ist. Wenn aber, was im vorliegenden Fall wirklich vorkommt, eins von den genau gleich 

 n ist, so hat man im Integral dem entsprechend die Glieder 



cos {nt -\~ a) ^ sin {nt -+- a) 



