Beiteag zur Integration der Dieperentialgleichüngen der Störüngstheorie. 1 1 



Differentialgleichungen, wobei die rechte Seite noch enthalten kann. Dieser Fall wird 

 unten besprochen werden. Ausserdem spielt die Gleichung bekanntlich in der Theorie der 

 Schwingungen gespannter Membrane eine wichtige Rolle. Man hat sie vor Gyldén — vgl. 

 Heine, Handbuch der Kugelfunktionen, 2-te Auflage, Th. I, pag. 404 u. folg. — weder 

 direkt noch durch Ann.äherungen in befriedigender Weise integriren können. Nur іщіег der 

 speciellen Annahme, dass x sich durch eine trigonometrische Eeihe mit dem Argumente It 

 ausdrücken lasse, hat man die Integration durch Substitution einer solchen Reihe mit un- 

 bestimmten Coefficienten vollziehen können. 



Unsere Methode soll uns nun dazu dienen über die wahre analytische Form des Inte- 

 grals Aufschluss zu erhalten. Nachdem diese bekannt geworden, ist es nicht schwer Formeln 

 zur Berechnung der Coefficienten aufzufinden. 



Schreiben wir anstatt (4) 



^ H_ n^x = 2ß cos {It -I- 5) ж 

 und wenden die erwähnte Methode an, so giebt die erste Approximation 



ж = cos гѵ H — 5 — — cos Ш -i- Ь -t~ w) -Л — ^ — ~ — r-„ cos (Xi -ь & — w) 

 und die zweite 



Ж„ = ж, -t- TT , " rr^ ^ cos 2 At -+- Ü) -+- lü\ 



^ип^-02.^пщ cosj2(X^-b-b) 

 {n^-(x-n^:^-(2i-nr) COS І2 (kt -4- b) 

 u. s. w. Hier bedeutet, wie immer, 



w = n (l — g) t -i- -n: 



wobei wir, wenn wir uns mit den zwei angeführten Annäherungen begnügen, für т zu setzen 

 haben 



n — — 



Man sieht daraus, dass das allgemeine strenge Integral, wenn jene Operationen noch 

 weiter fortgesetzt gedacht werden, nothwendig die Form 



2 cos [w -i- г (kt -+- 6)1 



i = — oo 



(5) 



besitzen muss. Schreiben wir nun der Kürze wegen 



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