Beitrag zuk Integration der Differentialgleichungen der Störüngstheorie 1 5 



Hier können aber die Ml^'^ und -M'*^*_^ direkt berechnet werden, da in denselben nur be- 

 kannte Grössen enthalten sind. Demnach lassen sich auch die a.'^' und a*'^' . unmittelbar 

 berechnen, indem man für einen hinreichend hohen Index a/^'' und a_^^'' gleich Null setzt 

 und die übrigen daraus rückwärts berechnet; selbst in den schwierigsten Fällen, wo clemen- 

 täre Glieder auftreten, ist es ausreichend mit »g^^^* = о anzufangen. 



In dieser Weise erhalten wir die i»./^* durch [i-o*^' ausgedrückt, und wir haben also nur 

 noch diesen letzten Coefficienten zu berechnen. Da man aber 



hat, und da die aj^^' und a^^^_i schon bekannt sind, so giebt die Einsetzung dieser Werthe 

 in die erste der Gleichungen (11), wenn wir dieselbe nach ^^^^^ auflösen 



(13) 



womit die Aufgabe erledigt ist. 



Die Gleichung (13) giebt uns auch Aufschluss über die Frage, wann elementare oder 

 sekuläre Glieder in dem Integrale vorhanden sind. So oft entweder gleich n ist, oder sich 

 von n nur um Grössen erster Ordnung unterscheidet, ist der Nenner von ]}.^^^^ ebenfalls von 

 derselben Ordnung und also ^^^^ selbst von der nullten Ordnung. Im Allgemeinen hat man 

 also ein elementares Glied in diesem Falle. 



Wenn dagegen der Nenner von genau Null wird, wenn also einen solchen 

 Werth hat, dass 



identisch verschwindet, so hat das Integral ein sekuläres Glied. In diesem Falle haben 

 dann die Coefficienten [x/^^ Werthe, welche das Gleichungssystem 



i^r - % i>^f \ = H^i- - ^ n 



auch für г = 0 erfüllen. Da nun aber diese Gleichungen mit den (6) identisch sind, so muss, 

 wenn ein sekuläres Glied, der Hinzufügung von 4*^ zufolge, vorhanden sein soll. Eins von 

 den genau gleich m sein. Dasselbe ist der Fall, wenn k^ die Form hat 



k^ — i\ ± n 



wo г alle positiven und negativen Zahlenwerthe annehmen darf; denn alsdann wird der 

 Faktor von [л/^* in (11) gleich Null. 



Nehmen wir anstatt (4) die etwas allgemeinere Gleichung 



^ -f- — 2ßi cos \t — cos \t\ X = 0 



