4 В. ImSCHENET SKY. 



En employant l'un ou l'autre de ces deux développements, sous le signe de l'intégrale 

 précédente, et ayant égard aux équations (1), (2) et (3), on obtient 



(5) А?п(^) = -|зг 

 ou bien 



(6) Acpjrr) = 9„_,(ж) %_,(^)-^ Фп-з(«)-^ Фі(^) 

 Enfin, la comparaison de ces deux expressions de Ä cp^ (x) donne 



la formule qui nous sera très utile par la suite. 



4. Avant d'aller plus loin il ne serait pas inutile de faire voir en quoi notre défini- 

 tion de la fonction de Bernoulli diffère de celle qu'on emploie ordinairement. D'après 

 l'équation (5) on a 



ж" = 1*^ {9„4-,(^-*-l) — Фпч-1 ('^)!- 



En y faisant x = 0, 1, 2, 3, ... m — 1 et en ajoutant les résultats, on obtient 

 r H_ 2" 3" -i- . . . H- (Ш— If 



n-\-\ 



D'autre part on connaît la formule suivante 



r 2" -f- 3^ -4- . . . -H (w— If 



due à Jacques Bernoulli ^), où les coéfficients B^^ Бд, ... ont reçu le nom des nombres de 

 Bernoulli et la fontion de degré и -+- 1 de ш au second membre fut appelée la fonction de 

 Jacques Bernoulli par Eaabe^). La comparaison des puissances égales de m dans les deux 

 expressions précédentes de la somme Г* -ь 2" -h З^ н- ... -i- (ш — 1)*^ donne 



^1 л Вз 



л 1 A — "1 л 



1 . 2 ' ""3 |4 5 



et en général 



^ _ (-ir-iB2^_i 



2 m — 1 |2»i 



1) Ars conjectandi. Pars secunda, p. 97. 



2) Ueber die Ber noulli'scbe Function. Grelle Journ. В. 42г 



