8 В. Imschenetsky. 



Ell partant des (19) ou passe facilement aux expressions de Дср^^^(ж) et de Аф^^^(а;) 

 des différences finies de cp^ ^ (ж) et de ^ (x) pour Д ж = 1 . 

 En éffet comme au n 3 on trouve 



V 



J 0 



•/0 



Après avoir développé la fonction (:г -н г/) н- de deux manières diffé- 



rentes: suivant les puissances de x ou de y, on l'intègre depuis y = 0 jusqu'à y = 1, alors 

 en vertu de (16) on obtient, comme au n" 3, 



(20) A 9^^ „ (ж) = <p^_,^ (ж) -f- A^_^^ 



= ?v, n-^ (^) ^ ?v, n-2 (^) 9v, n_3 («)-»-...-+- , (x) -b- 



et, par conséquent, 



(21) 9v,n-,(«) -+--p-<?v,«-2(^) -^?ѵ,п-з(^) -*--[^?v,i(^) 



On trouve de même 



= Фѵ,п-і(^)^-^Фѵ,„-2(^) -+--^Фѵ,«-з(^)-*-----^-[^Ф,п(^)-»-^Ч-.,П-2 



et 



(23) Ф,^,,„_ЛЖ) = Фѵ,«-,(^) Фѵ.,п-г(^) Фѵ,«-з(^) • Фѵ,,(^). 



La dernière formule n'est que la définition même de la fonction ф^^, (ж), d'après 

 le n° 4. 



L'analogie de (20) et (22) avec (5) et (6), ainsi que de (21) et (23) avec (7) est 

 évidente. 



De l'égalité (23) il est facile de tirer celle-ci 



(24) Ф,,„_,(ж) = ф,^,,^_,(ж)->-ЛФѵч-і,п_2(^)-*-ЛФѵ-,-і,п-з(*)-^- . .Н-Л_зФѵ-ы,і(^) 



Il suffit pour cela de changer n — 1 dans la formule (23) successivement en n — 2, 

 n — 3, . . . 2, 1 et en multipliant les résultats réspectivement par A^, A^, ... Л^_^ de 

 les ajouter à l'égalité (23); alors, en vertu des (3), on aura la formule (24). 



Remarquons encore une conséquence des résultats, que nous venons d'obtenir. 



