Sue, la génékalisatjon des fonctions de Jacques Bernoulli. 



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§ ni. 



Propriétés diverses des foiictious %,n(^) et et rte leurs coéfflcieuts. 



13. Nous allons profiter des séries obtenues, dans le § précédent, pour en déduire 

 quelques propriétés nouvelles des fonctions cp^ ^{x) et (x). 



On peut écrire le développement (2), du § II, comme il suit 



(1) 



Si l'on y substitue ^= 2 г/ У — 1, en supposant x et y réelles, alors, en égalant entre eux 

 les parties réelles et les coéfficients de V — 1, on trouve 



y'"*"' Cos [2x- (v+1)] y _ -. . / -.что"» I /л . 1 2m .«s 



«1=1 



et 



y^-^-' Sin [2a; — (V4-I)]y , ^.m ^ 2тн-і . (^\ . A \ ^.гт-ы /ач 



m = o 



deux séries convergentes pour < тс. 



En posant maintenant 2x — (v-t-1) = 2|et 2x — (v-4-1) = — 2^, on obtiendra, 

 évidemment, les mêmes résultats de ces deux substitutions dans le premier membre de (2), 

 mais — les résultats égaux avec des signes contraires dans le premier membre de (3). Comme 

 il doit en être de même dans leurs seconds membres, ou en conclut que 



et 



^v, 2m ( 2 2m ( 2 ~*~ ^ (4) 



Фѵ,2«г-ні Л, 2m = — [?v,2m-Hl .4,, J (5) 



On peut obtenir des équations (4) et (5) les conséquences suivantes: 

 1) Pour I = dz ^"^^ on trouve les égalités: 



9v,2m(^-*-l)=0 et Фѵ,2т^,(^-^1)-»-2Л,2т=0 (6) 



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