Sur la généealisation des fonctions de Jacques Beenoulli. 



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§ IV. 



Les développements en séries des puissances entières positives ou negatives des fonctions 

 principales trigonomètriques et iiyperboliques. 



le. Nous n'avons employé jusqu'à présent les séries (1), (2), (3) et (4) du § II que 

 comme un moyen commode de démonstration de certaines propriétés des fonctions 9^ ^ (ж) et 

 ^(ж); maintenant nous nous proposons de nous occuper des transformations et des cas 

 particuliers, les plus remarquables de ces séries, 



La série (2) du § II: 



(x— — ^ г ~ 

 (e^-nvi-i = -Ti = 1 ^ i?v,nC'^) -*- ^v,n-il^ 



présente des cas particuliers remarquables correspondant aux suppositions: 1) x = 0, 

 2) ж= 1, 3) ж = ѵ-і-1, 4) = 

 Dans les cas 1) et 2) on a: 



"^^^ = 1 -H . 0 -H X ^2 -b . . . -f- J г;" . . . (1) 



(e« _ i)V-»-i V, 0 V, 1 • • ' -'^v, n — 1 



{ef-iy-*-^ = 1 (1 H- Л,^о) ^ (Л-1,0 ^v,i) • • • 



De là pour V = 0 on retrouve deux séries connues: 



mais pour v > 0 on aura des séries nouvelles. Ainsi par exemple pour v = 1 on 

 obtient 



, = 1 -t- A, ^ z A, , A, ^ -t- ... 



(e* — 1)^ ijO bi 1,2 



