Sur la généealisation des fonctions de Jacques Bernoulli. 23 



Si l'on y change s eu 2 s V — 1, on aura 



■s^)'"'' = 1 - 2 (- 1)" 2- „„ (liL) Л, (9) 



m = 1 



une série convergente pour mod. ^ < тт. 



Pour V = 0 on déduit de (9) la série connue 



= 1 H- 2 2 (- 1)" (1-2^"»-^) Лт-, 



Sin 



car d'après le n" 1 5 on a 



2"" {-P» iï) - = 2"" -b l) ^„„_, = 2(1- 2"-') 



Pour avoir un cas nouveau il suffit de prendre v = 1, alors nous avons 



02»» (^\ -1- À \ 9=^"' [À -4-/4 i 



\Tt,2m y ' 1,2 m— Il I 2m~2 2m— lf' 



, , f 0, pour Ш > 1 



ou A 2={ 1 , ; clone 



1 - 2^ (Л,,- i) -H 2M,,3 _. . (- 1Г 2-4,2m-i 



^2m 



On peut aussi obtenir cette série de celle qui a été donnée ci-dessus pour le développe- 

 ment de 



A l'aide de l'expression de ф^^^ (|) dônnée au n" 15 on trouvera, pour v = 2, 

 -sfc- = 1 - |2 (1-2) Л,і -^І]^'-*- |2 (1-2^) Л,з 3 (2^ H- 2 - 1) А^] н- 



...-!-(- 1Г |2 (1 — 2'"^-') ^2,2m-i 3 (2" -+- 2^™-^ — 1) Д 



IT. Les développements de (г; Cotli et de Cotg sf. 

 En multipliant par - ^^z^-^^y les deux membres de l'égalité 



2m— 3) 



23 = v 



{e' -H = y, — . ei^^ 



p — o ^ 



on a 



(e2_i)v ^ ip |v— p (e^ — 1)^ 



