Sur la généralisation des ponctions de Jacques Bernoulli. 35 

 Cela posé, on aura les polynômes de la forme 



f (гЛ _ . «y. 0 . «V. 1 Д^''"^ . . «y n-3 . „ rr (()\ 



h,n\^) — ^=1 |n-2 -+-•••-« p ^ ^y,n-2 ^ 



complètement définis, tant que v est plus grand, égal ou plus petit d'une unité que n. 



Ces polynômes sont très commodes pour exprimer une fonction factorielle entière, 

 ainsi que ses dérivées de l'ordre quelconque, son intégrale et ses diftérences finies. En 

 effet, d'après la définition des nombres С^д. on a 



(ж— 1) (ж— 2) (ж—З) . . . (ж — v) 



= ж^ — (7/ х'-' чг- с; х'-^ — . . . (_ ] / с; ж^~* . . . (— 1)^-' ^ ~^І~^У С- 



Mais d'après la formule (1) nous avons: 



(- 



1) c; = 







(- 



1)^ cv - 



V (v — 





(- 



1)^6'; = 



V (v — 



-l){v-2)oc,^,, ... 



(- 



1)" g; = 



V (v — 



.l)(v-2) . . .{v — Jc4^1)a^^, 



(- 



rr c; = 



V (v — 



-l)(v-2) . . . 2.1. a^^,_,. 



Donc, en substituant ces valeurs dans l'égalité précédente et en la divisant par |v, on 



aura 



1) (^_2) (Ж -3) . . . (ж- v) = -b "-^"^f"^ 

 ~^[!ЕГ~' • • • [v^ -t- . . . H- a,^,_^ ж -4- 



ou 



(x - 2) (Ж - 3) . . . (Ж - v) = Z,^ , (Ж) -f- a,^,„,. (3) 

 De là, par changement de ж en ж -ь 1 , il vient 



y X (ж— 1) (ж— 2) ... (ж— v-t- 1) := f^^^ (ж-ь 1) -ь a,^,_, (4) 



Par cliangement de v en v — 1 dans l'égalité (3) et en la multipliant par -^, on a 

 - ж (Ж- 1) (Ж- 2) . . . (ж — V 1) = -f- (ж) -.- a,_,^ (5) 



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