Sue la généralisation des fonctions de Jacques Beenoulli. 



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On peut essayer d'abord de tirer sa démonstration de l'égalité (30) môme, par voie 

 d'induction, en s'appuyant sur les résultats (28). 



Supposons donc, que jusqu'à une certaine valeur déterminée de w on a 



= - 1. Ли = -ы, . . . = (- (32) 



et qu'il faut en conclure que 



Si la valeur de n est impaire la démonstration réussit parfaitement. Car d'après la for- 

 mule (7) du § III on a 



si le nombre n est impair. Donc, si l'on fait ж = ^"^ ' ^ dans l'égalité (30), elle se réduità 



Л, ir = 0, 



en vertu des hypothèses (32). 



C'est ainsi, par exemple, qu'en se fondant sur les résultats (28), que l'étendue de nos 

 tables auxiliaires a permis de calculer, on peut conclure que 



Mais il parait qu'il est impossible de démontrer, par cette voie d'induction, l'autre cas 

 du théorème, quand le nombre n est pair. De quelque manière qu'on modifie cette démon- 

 stration on rencontre toujours le même obstacle, ' dépendant évidément de ce qu'on ne sait 

 pas, si l'équation 



a pour racine un des nombres 1, 2, 3, . . . w, si le nombre n est pair. Dans ce cas, tout 

 ce qu'on peut tirer de l'égalité (30), en vertu des conditions (32), c'est que 



Ф«,п (^) -^- 1 = ^ (^— 1) (^ — 2) • . . (ж — w). 

 Ainsi, quoique nous ayons déjà trouvé que 



A,6 = — 1, = 1, Л,2 = — 1. Л,5 = Л,/. = — 1; 



la conclusion, sans calcul direct, si ^ = •+■ 1, reste encore indécise. 



