Sue la généralisation des fonctions de Jacques Bernoulli. 47 



La conséquence immédiate du théorème qu'on vient de démontrer est, comme nous 

 l'avons déjà prouvé, l'égalité 



/4 4 — 1)(ж — 2)...te — n) 

 %,n = \J 



établissant une liaison intime entre les fonctions factorielles et nos fonctions généralisées de 

 Bernoulli. 



D'après la formule (3) on peut l'écrire ainsi 



d'où, en comparant les coéfficients des puissances égales de ж, il suit que 

 et en général 



Donc, dans tout ce qui précède on peut remplacer les nombres a par les nombres Ä 

 avec les mêmes indices. 



L'égalité (34) d'après la formule (1) prend encore la forme 



-^щк—і — 2)...(и — /сч-І) ^''''^ 



Cette formule est beaucoup plus simple que la formule (26); mais cette dernière 

 a lieu pour des valeurs entières et positives quelconques de deux indices n et к — 1 du 

 nombre , tandis que la formule (35) n'a de signification que pour Je <n. 



Il faut remarquer que c'est Schlömilch qui le premier a donné une formule 

 équivalente à la (35), dans son Mémoire cité [p. 350, (7)]. Avec nos notations elle peut s'écrire 



rin I л\к и (и — 1) ... (и — й Ч- 1) j.k г**-»-! 



Ч = V— ч и ^ 



^ 2=0 (e« — 



et se réduit à l'égalité (29) dans le cas particulier de h = n. Mais nous n'avons pas cru 

 de trop d'en donner une démonstration idependante et assez simple, en vue des conséquen- 

 ces que nous en déduirons plus loin. 

 D'après la formule (31) la fonction 



w, n — 1 ' 



pour un entier n quelconque, ayant toutes ses racines égales à des nombres 1,2,3, . . 

 on en conclut, par le théorème de Rolle, que toutes ses dérivées 



