48 



В. Imschenetsk Y. 



ont aussi des racines réelles et positives, comprises dans l'intervalc de 1 à n, de manière 

 que les racines de chaque fonction sont séparées par celles de la fonction précédente. 

 On voit, en même temps, que la fonction généralisée de Bernoulli de la forme 



pour к < n, n'est qu'une dérivée de l'ordre n — /г de la fonction factorielle 



~{x—l) (ж— 2) ... (x — n). 



Et il est facile de remarquer, que ф^^^, (x) pour > w peut être dérivée de la même 

 fonction factorielle par voie d'intégration. 



En éffet, en intégrant l'égalité (31) entre 0 et x, on a 



X 



Фп,п-ы и = I (ж - 1) (ж— 2) . . . {x~n) dx 



Remarquons, en passant, qu'on peut exprimer la valeur de cette intégrale par la formule 

 (27). En ajoutant J^^j^ aux deux membres de l'égalité précédente et en l'intégrant de 

 nouveau entre 0 et ж, on aura 



]dx. 



m — 1 



Фп,пч-2(^)=^«,п^-^--^|'^ (Ж— 1)(Ж— 2)'. . . {x—n). 



о 



1 



En continuant ainsi on trouve généralement 



Фн, n-Hwt v*-' И, п.-*-И1 — 2 ^ ~*~ n, n-bw— 3 ... -I- A^^ ^ ^n—l 



X 



H- -p- {x — \){x — 2) . . . (ж — n) dx, (36) 



0 



où parp"*' estdesigné,pourabreger,w intégrations successivesparrapportà», depuis Ojusqu'àa;. 



0 



Il est démontré, de cette manière, que toutes les fonctions généralisées de Bernoulli 



9n,1 ?n,2 (^)' •■• %,n i^l ?n,«-Hl i^h • . . <?n,n^m 



peuvent être dérivées d'une seule d'entre elles ^ (ж), ou d'une fonction factorielle 



-|^(ж— 1)(ж — 2) ...(ж — w), 

 par différentiations ou intégrations successives. 



