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В. Imschenbtsky. 



et les valeurs numériques des coéfficlents, qui figurent ici, se déterminent par une formule 

 générale bien simple 



qui resuite de l'égalité (31). 



30. Jusqu'à présent nous avons obtenu les développements de plusieures fonctions 

 de deux variables x et suivant les puissances ascendantes de dont les coéfficlents sont 

 des fonctions entières de ж, appartenant à une des quatres éspèces: 



Pour compléter l'analyse .des propriétés de ces fonctions, il nous reste encore à déduire 

 une série, du même genre, mais contenant, comme coéfficlents des diverses puissances de 

 les fonctions entières de toutes ces quatres formes à la fois. 



On aura obtenu ainsi la preuve directe que ces fonctions proviennent de la même fonc- 

 tion génératrice et, par suite, — ' la justification de leur dénomination commune fonc- 

 tions de Bernoulli, par laquelle nous les avons désignées. 



Le développement, dont il s'agit, se déduit le plus facilement de celui du binôme. Il 

 ne faut pour cela qu'appliquer plusieures fois la même méthode qui nous a servie pour 

 obtenir la série 



n=i 



avec son cas particulier 



1 -f- г \g(l-*- z) 



go 



\ -^- A Z -i-^ A 



pour X = 1. 



En ajoutant là dernière série à l'avant dernière, multipliée par on a 



d'où, par l'intégration par rapport à x depuis 0 jusqu'à ж, on obtient la série 



г (1 -4- «r — 1 / >. X."" / Ч n-t-i 



TïiôW" = ^ Ф2(^) ^ 2^ Ф.,П-Н2И ^ 



