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Sue, la généralisation des fonctions de Jacques Bernoulli. 55 



Donc la formule (41) étant vraie pour j)= 1, 2, 3, 4 est maintenant démontrée géné- 

 ralement, pour — 1 < 2! < 1 , a; étant une variable réelle quelconque et p un nombre entier 

 et positif. 



Par la dernière série, que nous croyons nouvelle, la fonction' génératrice commune à quatre 

 fonctions -^, cp„ (ж), ^ (ж), ф,^ ^ {x) devient évidente. 



En éfîet, d'après les formules de Maclaurin et de Canchy on en déduit: 



xP _ 1 sV (l-t-gf — 1 1 f (1 -b g)a; _ 1 



\t ~~ г=о [lg(l-b«)]P-*-i ~ 2to J(o) Dga-*-^)]^"*''' 



— JL nP (і-4-г)Д'-і _ _J_ (l-b^f-l dz 



?рч., W — [^^ 2==o [lg(l-bà)]P-*-i 2 та У(о) [lg (1-«-г)]Р-*-і ' 



/-г^ — ^ Лг'-*-'* ^ (l-t-gf - 1 



.Тп,рч-«ч-і W — 2=0 [lg (1 -*-г)р-*-і 



~~ 2та j(o) [lg(lH-«)]P-*-i ' 



1 P (1 ^zj^—i zP—^-*-^ dz /7=4 



~ 2 та J(o) [lg(l-t-«)]P'^i l-b« 5Ѵ^<І^Л 



oîi le signe (0) indique que les intégrales sont prises suivant le contour élémentaire fermé 

 autour du point 2f = 0. 



Il est facile de vérifier les valeurs des quatres intégrales précédentes à l'aide des séries 

 données plus haut. 



En éfîet, en posant 



log (1 -f- = M, 

 pour changer la variable 0 en m, on trouve: 



1 • f (l-bg)^'-l 1 _ 1 г ( их _ , X du 

 2та J(o) [lg (1 -H І-ь^ ~ 2 та J(o) ^ > uP-^^ 



— J_ 7)P (p**^ ^) — • 



1 с (1 Ч- — 1 dz 1 [• e'^'^ — l du . s 



J(o) [lg(l-*-^)]P-^-i 0(1 -H г) "Ті^Г J(o) e« — 1 ' мР-^і ~ ^P-*-i 



J (0) [lg (1 ^)]^"*"' «»»-»-1(1-«- g) "~ 2 та- J(o) (e«-lf-»-i ^Р-ьп-ы — 9„, р-ыгч-і І^Л 



