FLÄCHEN MIT BESONDER. MERIDIANCURVEN. 



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d^z dx d'^z dy 

 dx'^ du dxdy du 



cos V 

 cos '^u 



d^z dx d'^z dy 

 dxdy du dy"^ du 



d^z dx , d^z dy 

 tanff u sm v , - — z- — + — ^ 

 dxdy dv dy^ dv 



d'^z dx ^ d^z dy 



dx'^ dv dxdy dv 



Aus den vorstehenden Gleichungen findet man leicht 



= tang u cos v. 



4) 



Idx dy 

 \du 



dy dx dy\ 



dv dv du} 



dy dx dy \ 



dv dv dul 



dxdy dxdy^ 



Idx dy 

 \du 



cos ^u 



cos^w 



( 



idxdy dxdy\ 

 \du dv dv du) 



cos Hl . 



d^z _ 



dy 



cosv -~ 

 dv 



dx'^ 



d^-z _ 



dx 



— sm V -~- 

 dv 



dy'^ " 



d'^z _ 



dx 



— cos V — - 

 dv 



dxdy 



dH _ 



dy 



sm© -~ 

 dv 



dxdy 



, • • % 



-f- sm u cos u sm v ~ . 



du 



-\- sin u cos u cos v 



sm u cos u sm v 



d'^z 



Der doppelte Werth von -^y- aus den Gleichungen 4) 



dxdy 



Relation : 

 5) 



dx 



du^ 



dx 



du ' 



dy 



du 



bedingt folgende 



dx , . dy . I 

 cos V - — |- sm V = sm u cos u .i — 



dx , dy\ 

 smv -; — hcosv ^1. 



du/ 



dv ' dv \ du 



Analog den Gleichungen 2) lassen sich die Gleichungen 4) nach u 

 und V difi'erentiiren, wodurch sich die dritten DifFerentialquotienten von 

 z nach x und y durch die zweiten Differentialquotienten von und y nach 

 u und V darstellen lassen. Es ist selbstverständlich, wie man auf diesem 

 Wege die höheren Differentialquotienten von z nach x und y darstellen 

 kann. Zwischen x und y findet immer die Gleichung 5) statt. Sei der 

 Einfachheit halber eine Fläche durch eine partielle Differentialgleichung 

 zweiter Ordnung von z nach x und y characterisirt. Mit Hülfe der Glei- 

 chungen 2) und 4) lässt sich dann die partielle Differentialgleichung zwei- 

 ter Ordnung durch eine Gleichung ersetzen, welche nur die ersten Diffe- 

 rentialquotienten von X und y nach u und v enthält. Diese Gleichung in 

 Verbindung mit der Gleichung 5) gibt ein System von zwei Gleichungen 

 zur Bestimmung der Coordinaten x und y. Die dritte Coordinate z ergibt 

 sich dann mittels der Gleichimgen 3). Dieses Verfahren ist bekanntlich 

 bei Behandlung der partiellen Differentialgleichung der Minimalflächen 

 Mathem. Classc XXIX 1. B 



