10 ALFRED ENNEPER, 



mit grossem Erfolge angewandt worden. Bei andern Problemen erweist 

 sich die successive Bestimmung der einzelnen Coordinaten weniger vor- 

 theilhaft, während es besser ist die sämmtlichen Coordinaten von der 

 Bestimmung einer vierten Quantität abhängig zu machen. Diese vierte 

 Quantität, welche von Legendre herrührt, soll im Folgenden in einige 

 fundamentale Formeln eingeführt werden, wobei die unabhängigen Va- 

 riabein wesentlich verschiedene von denen bei Legendre sind. 



Man setze : 



6) ' S = tsuag II cos V . a;-\-ta,ngu sin V .t/ — z. 



Dieser Ausdruck für 8 gibt nach u und v differentiirt , mit Rück- 

 sicht auf die Gleichungen 3) : 



7) cos^M— = cos-y . sinu , 



du 



, dS 



cotu — = — smi; . ^-f- cos«? . V. 

 dv 



Aus den Gleichungen 6) und 7) folgt: 



„ dS , dS 



X = cos —z- . cos V — cot u — . sm v , 

 du dv 



-V „ d8 . , ^ dS 



8) { y = cos^M — . smi; 4-cot?^ — . cosv, 



du dv 



dS ^ 



t = SIUMCOSM— iS. 



du 



Mittels der Gleichungen 2) und 8) lassen sich die höheren DifFe- 

 rentialquotienten von s nach x und y durch die höheren DifFerential- 

 quotienten von >S nach u und v ausdrücken. Von grösserem Interesse 

 ist die Entwicklung einiger Ausdrücke, welche in der Theorie krummer 

 Flächen von Bedeutung sind. In Beziehung auf die Gleichungen 8) 

 mögen einige Bemerkungen den folgenden Entwicklungen vorangehen. 



Ist Vq ein constanter Winkel, so geben die beiden ersten Glei- 

 chungen 8): 



