ÜBER DIE DISCßIMINANTEN ENDLICHER KÖRPER. 7 



wo Ji eine ganze rationale Zahl ist, die wir, wie früher (G. §1), den 

 Index der Zahl Q nennen wollen. 



Ist to eine beliebige ganze Zahl, so gilt dasselbe von den mit ihr 

 conjugirten Zahlen, mithin ist die Spur <S(co) eine ganze rationale Zahl; 

 und wenn to durch die ganze rationale Zahl c theilbar ist, so ist S[(jS) 

 ebenfalls durch c theilbar, weil tu = ca, also Sio)) = cS{cc), und S{a) 

 ganz ist. 



Mit p bezeichnen wir im Folgenden immer eine (positive) ratio- 

 nale Primzahl; dann folgt aus einer bekannten Eigenschaft der zum 

 Exponenten p gehörenden Binomial-Coefhcienten, dass, wenn /u, v irgend 

 zwei ganze algebraische Zahlen bedeuten, immer 



(5) (,w + = -j- -f 



ist, wo Q ebenfalls eine ganze Zahl ist. Hieraus folgt, wenn to irgend 

 eine Zahl in o bedeutet, zunächst 



^{iüf = {J^^ 4- w^'^ + . . . -f co^^y = 8[wP) (mod. p); 



da aber S{(o) eine ganze rationale Zahl, mithin nach dem Satze von 

 Fermat 



S{wf = S{(o) (mod. p) 



ist, so ergiebt sich 



(6) S{w) = S{ü/) (mod. 



und allgemeiner, wenn man w immer durch ersetzt, 



(7) S{(o) ~ S(u}P ) (mod. p). 



Sind «2 • • • beliebige Zahlen in o, so folgt hieraus mit Rücksicht 

 auf die Gleichung (16) des vorigen Paragraphen der Satz 



(8) J(a^, ...«/) = , «2 . . . cc„) (mod. p). 



Ebenso ergiebt sich aus (7) unmittelbar der folgende (nicht umzu- 

 kehrende) Satz : wenn w durch alle in p aufgehenden Primideale theil- 

 bar ist, so ist 



(9) S{a}) = 0 (mod. p) ; 



