8 R. DEDEKIND, 



denn wenn man den Exponenten m hinreichend gross wählt, so wird 



m 



die Zahl co^ durch -p theilbar. 



§ 3. 



Wir wenden uns nun zum Beweise des in der Einleitung erwähn- 

 ten Satzes : 



Die rationale Primzahl f geht stets und nur dann in 

 der Grundzahl D des Körpers i2 auf, wenn jt? in diesem 

 Körper durch das Quadrat eines Primideals theilbar ist. 



Am Schlüsse der früheren Abhandlung (G. § 5) ist bemerkt, dass 

 dieser Beweis , falls es in o eine Zahl ö giebt , deren Index k nicht 

 theilbar durch jö ist, leicht aus den dort gewonnenen Resultaten ab- 

 geleitet werden kann. Dies soll zunächst geschehen. 



In der That, wenn es eine solche Zahl ö giebt, so ist damals ge- 

 zeigt (G. § 2), dass die Zerlegung des Ideals op in Primfactoren auf die 

 Zerlegung der zugehörigen Function F[t) in Primfunctionen nach dem 

 Modul /) zurückkommt. Ist nämlich 



F[t) = p{typ,{ty^ . . . (mod.^), 



wo P(^), Pi{t) . . . wesentlich verschiedene Primfunctionen bedeuten, so 

 entsprechen denselben ebenso viele verschiedene Primideale . . ., 



und gleichzeitig gilt die Zerlegung 



op = p"; . . . ; 



ist ferner xfj{t) eine beliebige ganze Function von t mit ganzen rationa- 

 len Coelficienten , so ist die ganze Zahl tp{9) stets und nur dann durch 

 das Primideal p theilbar, wenn tp{t) nach dem Modul p durch die ent- 

 sprechende Primfunction P{t) theilbar ist. Verbinden wir hiermit den 

 allgemeinen Satz^), dass eine Function F{t) und ihre Derivirte F'{t) stets 



1) In meiner Abbaudhmg über die Theorie der höheren Congruen- 

 zcu (Borchardt's Journal, Bd. 54, S. 7), die ich im Folgenden wieder mit C. eitiren 

 werde, ist zwar nur der erste Theil bewiesen, dass F'{t) gewiss durch P{t) theilbar 



