ÜBER DIE DISCRIMINANTEN ENDLICHER KÖRPER. 9 



und nur dann durch eine und dieselbe Primfunction P(t) nach p theil- 

 bar sind, wenn F[t) durch das Quadrat von P{t) theilbar ist, so ergiebt 

 sich Folgendes., 



Wenn j-j durch das Quadrat eines Primideals theilbar ist, so muss 

 einer der Exponenten e. . . ., z.B. e>l sein; dann ist F'{t) durch 

 P(f ) , folglich die Zahl durch p theilbar ; mithin geht die Norm von p, 

 welche immer durch p theilbar, nämlich eine Potenz von p ist, in der 

 Norm von 6" auf (Z. §. 169, 5.); hieraus folgt mit Rücksicht auf die 

 Gleichung (4) in §. 2., dass Dk^ durch j) theilbar ist, und da p nicht 

 in k aufgeht, so muss die Grundzahl D durch p theilbar sein. 



Wenn aber p durch kein Primideal - Quadrat theilbar ist, so sind 

 die Exponenten e, ei . . . sämmtlich = 1 ; dann ist F'[t) durch keine der 

 Primfunctionen P{t), Pi{t) . . . theilbar, und folglich ist die Zahl 

 auch durch keines der Primideale p , pi . . . theilbar ; mithin ist rela- 

 tive Primzahl zu p, und hieraus folgt (Z. §. 174, 8.), dass ihre Norm 

 ■^Dk^, und also auch deren Theiler D nicht durch p theilbar ist. 



Hiermit ist der obige Satz vollständig bewiesen, aber nur unter 

 Voraussetzung der Existenz einer Zahl d, deren Index k nicht durch p 

 theilbar ist; da nun in der früheren Abhandlung (G. §. 5.) gezeigt ist, 

 dass es Körper i2 giebt, bei denen diese Voraussetzung nicht für alle 

 Primzahlen p zutrifft, so bedarf es eines anderen Beweises, um die 

 Wahrheit des Satzes für alle Fälle ausser Zweifel zu setzen. 



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§• 4. 



Der zu beweisende Satz zerfällt in zwei Theile, von denen der 

 eine in folgender Form ausgesprochen werden kann: 



Ist durch das Quadrat eines Primideals theilbar, so 

 geht p in der Grundzahl D auf. 



ist, wenn P(ty in F{t) aufgeht; bedenkt mau aber, dass die Derivirte P'{t) nie- 

 mals = 0(mod.p) ist (weil sonst die Prinihinction P{t) der p*^" Potenz einer Function 

 congruent wäre), und dass folglich P'{t) auch nicht durch P{t) theilbar sein kann 

 (weil der Grad von P'{t) kleiner als der von P{t) ist), so ergiebt sich auch der 

 andere Theil des obigen Satzes. 



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