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Dies ist sehr leicht zu beweisen. Denn wenn op = Qp' ist, wo p 

 ein Primideal (oder auch irgend ein von o verschiedenes Ideal) bedeutet, 

 so ist ap nicht theilbar durch op, und es giebt folglich in op eine durch 

 p nicht theilbare Zahl tu ; da ferner (ap)' = ap , also durch op theilbar 

 ist, so geht p in w^, also auch in co^ auf. Setzt man nun wieder 



0 = i tOj , tÜ2 • • • tÜ,i] i 



also 



D = ^(tüi, CO, . . . co„), 



so ist 



wo die ganzen rationalen Coordinaten h^, . . ■ /i„ nicht alle durch p 

 theilbar sind, weil sonst auch w durch p theilbar wäre, was nicht der 

 Fall ist. Erhebt man zur jt>^*" Potenz, so folgt aus dem Satze (5) in §.2. 

 mit Rücksicht auf den Satz von Fermat 



= w )f = < (mod.jo), 



und da a>^' durch p theilbar ist, so ist auch 



^h^wP = 0 (mod. j^) . 



Da aber die Zahlen h^, wie oben bemerkt, nicht alle durch p theilbar 

 sind, so folgt aus einem früher bewiesenen Satze (Z. §. 166. (1)), dass 

 die Discriminante 



^[(JOl, tüo . . . Cü„) 



durch p (sogar durch p') theilbar ist'), und hieraus ergiebt sich nach 

 dem Satze (8) in §. 2., dass p auch in D aufgeht, w. z. b. w. 



§■ 5. 



Bei weitem schwieriger ist der zweite Thcil des Satzes, die Um- 

 kelnung dos orslcn Theils. zu beweisen, und wir müssen zunächst ei- 



1) Dies gilt ofleubur auch dauu, wenn die Potenzen «[, (4...oü^ keine Basis 

 des Körpers SI bilden, weil in diesem Falle ihre Discriminante verschwindet, also 

 diircli /) theilbar ist. 



