12 . R. DEDEKIND, 



C\, 1 5 



Cj 2 







^2, 1 5 



^2, 2 • 



• ^2, m •> 



^2,m-\-\ 



^m, 1 ' 



^")H,2 • 



c 



^m, «(+1 



Ml, 



Mg . 







multiplicirt sind; denn diese Determinante 



wird zufolge unserer Annahme immer eine durch f theilbare Zahl, 

 sobald 



gesetzt wird. Und da x^^i = C, also nicht durch p theilbar ist, so 

 ist der Satz bewiesen^). _ 



2. Sind «1, «2 • • • bestimmte Zahlen in o, während Xi, X2 • . • 

 willkürliche ganze rationale Zahlen bedeuten, so bilden die Zahlen 



Ci = ,^1 Cv'i + a?2 «2 + • • • +'^r^r 



einen durch 0 theilbaren endlichen Modul a = [«1 , «2 • • . «, ] , und die 

 Anzahl (a, op) der in a enthaltenen, nach p incongruenten Zahlen ist 

 offenbar höchstens = p^'; sie wird stets und nur dann genau = p'' 

 sein, wenn die Zahlen ai, cco . . . cc,. die Eigenschaft haben, dass die 

 Congnienz a = 0 (mod.^) nur durch = 0 , o?, = 0 . . . ,2?,. = 0 (mod.p) 

 befriedigt werden kann; in diesem Fall wollen wir sagen, dass die Zah- 

 len «1 , «2 . . . ein nach p irreductibeles System bilden , und 

 es leuchtet ein, dass r<n ist, weil (0, op) ist. Bilden die Zahlen 



, «2 • • • 'S.^er ein nach p reductibeles System, giebt es also 

 ganze rationale Zahlen »7,, a., . . . a,, welche die Congruenz 



ayCii-\-a,cc.-{- . . . = 0 (mod.^) 



befriedigen, und \ou denen wenigstens eine, z. B. a,, nicht durch p 



1) Ersetzt man die oben benutzten Elemente (V.m+i successive durch r,-,„+2, 

 o,..,„+3 • . • c,..„, so erhält nuiu im (ranzen n — »1, particuläre Lösungen der gegebenen 

 Congruenzen, aus wclclicn ihre allgemeinste Lösung leicht abzuleiten ist. 



