ÜBER DIE DISCRIMINANTEN ENDLICHER KÖRPER. 13 



theilbar ist, so kann man, weil p eine Primzahl ist, eine ganze ratio- 

 nale Zahl d so bestimmen, dass da^= 1 (mod.jtj) Avird; multiplicirt man 

 die obige Congruenz mit a', so folgt, dass 



= ^1 «1 + ^2 + • • • + ^1-1 «i-i (mod. p) 

 ist, wo &i, &2 • • • ^,-1 ganze rationale Zahlen bedeuten, und hieraus 

 ergiebt sich, dass jede Zahl et des Moduls a mit einer Zahl d des Mo- 

 duls a' = [«1 , fi, ■ • • nach p congruent ist ; da ferner a' theil- 

 bar durch a, d. h. da jede Zahl u auch in a enthalten ist, so folgt 

 (a, Qp) = (a, op), und diese Anzahl ist höchstens = p''~^. Ist das Sy- 

 stem «1, (Xo ■ ■ . ebenfalls reductibel nach p, so kann man in der- 

 selben Weise fortfahren, bis man zu einem nach p irreductibelen System 

 gelangt; besteht dasselbe aus 7ii Zahlen, so ist 



(a, op) = p'"; 



die Zahl m ist daduixh charakterisirt , dass es m Zahlen d^. do . . . d^ 

 in a giebt, welche ein nach p irreductibeles System bilden, während 

 jedes aus (m+l) Zahlen des Moduls a gebildete System reductibel nach 

 p ist; ist a eine beliebige Zahl in a, so giebt es immer m ganze ratio- 

 nale Zahlen y\-, • • • y,n ■> welche die Congruenz 



ß =yic^;-f y2«2+ • • • +ymal (mod.jö) 

 befriedigen und in Bezug auf den Modul p vollständig bestimmt sind. 

 (Wenn a durch op theilbar ist, so ist m = 0 zu setzen), 



3. Bilden die Zahlen coj, cy^ • - • eine Basis von o, und be- 

 trachtet man ein System von n ganzen Zahlen 



= Ci_2COi-j-C2,2CÜ2+ • • • + Cn,2^n 



= Ci,„cüi-|-C2,„a?2+ . . . +c„.„ty„ 



so geht aus dem obigen Satze 1. hervor, dass dasselbe stets und nur 

 dann nach p irreductibel ist, wenn die aus den Coordinaten c,.5 gebil- 

 dete Determinante C nicht durch p theilbar ist. Unter dieser Voraus- 

 setzung giebt es daher, wenn oj eine gegebene ganze Zahl ist, immer 



