ÜBER DIE DISCßIMlNANTEN ENDLICHER KORPER. 15 



Product von zwei Idealen p , q , und bezeichnen deren Grade resp. 

 mit r, s; dann ist 



0^^ = pq ; N{op) = p" = iV(p) N{c\) = fp\ 

 also r-{-s = n. Da ferner (Z. §. 173, 7.) 



(q, op) = iV(p) = 



ist, so giebt es (zufolge 2.) in dem endlichen Modul q ein System von 

 r Zahlen 



Cor Ql ■ ■ ■ Qr-l, 



welches irreductibel nach p ist, und jede durch q theilbare (d. h. in q 

 enthaltene) Zahl ist 



= ho (>o + ()i + . . . 4- Q,_i (mod. p) , 



wo Hq, hl . . . h,_i ganze rationale Zahlen bedeuten. Ebenso giebt es 

 in p ein nach p irreductibeles System von s Zahlen 



<7o, ffi . . . 



und jede durch p theilbare Zahl ist 



= A-o(7o4-^i(>i4- . . . +A:,_i(7,_i (mod.^), 



wo 5 kl . . . 1c^_i ebenfalls ganze rationale Zahlen bedeuten. 



Wir nehmen nun ferner an, dass p, q relative Primideale 

 sind, dass also o ihr grösster gemeinschaftlicher Theiler ist; dann lässt 

 sich leicht zeigen, dass die n Zahlen 



(>0 5 Qi ■ ■ C-i, <>or Gl . . . a,_i 

 ebenfalls ein nach p irreductibeles System bilden ; da nämlich jede in 

 0 enthaltene Zahl co eine »Summe von zwei Zahlen ist, deren eine in q, 

 und deren andere in p enthalten ist (Z. §. 165 oder §.171), so ist auch 



cü = Äo?o4- • • • + (>,-i + ^'o H- • • • -\-k,_iö,_i (mod.^), 

 und hieraus ergiebt sich unsere Behauptung (zufolge 2.), weil 



1) Unter dem Grade eines beliebigen Ideals a wird die Anzahl der (glei- 

 chen oder ungleichen) rationalen Primzahlen verstanden , deren Product = JV(a) ist 

 (vergl. Z. §. 171, 10.). 



