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(o, op) = = p'"^^ ist. Dasselbe geht aber unmittelbar auch daraus 

 hervor, dass die rechte Seite w' der vorstehenden Congruenz nur dann 

 durch p theilbar wird, wenn alle n Coefficienten h, k = 0 (mod.^) sind; 

 ist nämlich to' durch p theilbar , so ist auch co' = 0 (mod. , mithin 



Äo?o+ • • - -\-K-i9r-i ^ 0 (mod. p), 



weil die Zahlen ff^? ö'i • • • ö's-i in P enthalten sind; da nun die linke 

 Seite dieser Congruenz auch in q enthalten ist, so ist sie, weil p, q 

 relative Primideale sind, auch durch pq, also durch p theilbar, 

 und folglich müssen die r Coefficienten h durch p theilbar sein, weil 

 Qoi Qr~i Gill nach p irreductibeles System bilden ; und auf dieselbe 



Weise ergiebt sich, dass auch die s Coefficienten k durch p theilbar 

 sein müssen, was zu zeigen war. 



Nachdem dieser Punct festgestellt ist, wollen wir den in 3. be- 

 wiesenen Satz über die Spur S{a)) auf unser System Qq, Qi • ■ • Qr—i^ 

 Oq, Ol . . . a^_i und auf den Fall anwenden, dass lo eine beliebige durch 

 q theilbare Zahl /ii ist. Da q ein Ideal ist, so sind auch die r Pro- 

 ducte /Li^Q, jUQi . . . ;tt^,_i durch q theilbar, und folglich wird 



A*?0 =^^0,0 Qo + Ko + • • • + K-1,0 Qr-l 



= Kr-l QO + Kr-l ?1 + " • • + K-l. r-1 Qr-1 



Da ferner die übrigen s Producte /uGq, juGi . . . /uOs_i durch qp, also durch 

 p theilbar sind, so werden in ihrer Darstellung durch die Zahlen q, g 

 alle Coefficienten A, k = 0 (mod.j»), und hieraus folgt nach dem in 3. 

 bewiesenen Satze 



Ä(^) = Äo,o + Äi,i+ . . • (mod.j^). 



5. Wir nehmen jetzt, indem wir die bisherigen Voraussetzungen 

 und Bezeichnungen beibehalten, ferner an, dass p ein Primideal ist; 

 unsere frühere Annahme, dass p und q relative Primideale sind, kommt 

 also darauf hinaus , dass p nicht durch f theilbar ist. Dann gilt der 

 Satz, dass die Determinante 



