ÜBER DIE DISCEIMINANTEN ENDLICHER KÖRPER. 17 

 I S{qoQo)^ S{qqQi) .... S{Q(,q,_i) 



nicht durch p theilbar ist. Wir bemerken zunächst, dass dieser Satz, 

 wenn er für ein bestimmtes System Qq, Qi ■ ■ ■ Qr~i bewiesen ist, auch 

 für jedes andere System q'^^, q'i . . . gelten muss, welches dem Ideal 

 q angehört und nach p irreductibel ist; man kann nämlich 



Qo = «0,0 ?o + • • • +«,-1,0 

 (mod. p) 



setzen, wo die aus den Coefficienten a, ,- gebildete Determinante Ä nicht 

 durch p theilbar ist, weil sonst (zufolge 1.) das System linker Hand 

 reductibel nach p wäre; da ferner, wenn die Summationsbuchstaben 

 i, i die AVerthe 0, 1 . . . r — 1 durchlaufen, 



Qh 9k = Q.' (oaod. p) , 



also auch 



^'^'h9k) = ^%h^.',k^{9.9,') (mod.^j) 

 ist, so ergiebt sich aus bekannten Determinanten -Sätzen, dass die aus 

 den Spuren S'^q'^qI) gebildete Determinante R' = IIÄ~ (mod.^) ist, woraus 

 unsere obige Behauptung folgt. 



Wir construiren nun ein bestimmtes nach p irreductibeles System 

 Po 5 Qi ' • • 9>—\ folgende AVeise. Da p ein in p aufgehendes Prim- 

 ideal r**" Grades ist, so wählen wir, wie in der früheren Abhandlung 

 (G. §. 4) , eine ganze Function 



(1) P(t) = f + a,r-i-+ . . . +a,._jf+a, 



vom Grade r , welche ganze rationale Coefficienten 1 , aj . . . a,._i , a, hat 

 und eine Primfunction in Bezug auf den Modul p ist; dann hat die 

 Congruenz 



(2) P(a) = 0 (mod. p) 



immer r incongruente Wurzeln, und wir bezeichnen mit a eine be- 

 Mathem. Classe. XXIX 2. C 



