ÜBER DIE DISCRIMINANTEN ENDLICHER KÖRPER. 19 



dass eine in q enthaltene Zahl tu. und dass jiiQ^ = Q~ «""*"* = (mod.jt?) 

 ist, so folgt aus dem in 4. bewiesenen Satze 



(10) = 5„, (mod.j;), 

 wo zur Abkürzung 



(11) 6',„ = (;w+c<"'+^>+ . . . +et-i) 



gesetzt ist. Da ferner q^q^, = p'«'"^* = po:''^* (mod.p), und folglich auch 



(12) Sig^Q,) = Ä(,o«'+*') = s^, {mod.p) 

 ist, so ergiebt sich die entsprechende Determinante 



(13) 



R = 



Sc,. 



(mod. p) . 



- So,. 



2)--2 



Um nun zu beweisen, dass diese aus den Zahlen s,^ gebildete De- 

 terminante JE nicht durch p theilbar ist, wollen wir folgenden Weg 

 einschlagen. Bezeichnen wir mit | eine Wurzel der irreductibelen 

 Gleichung r'"* Grades 

 (2') P{^) = 0, 



so ist § eine ganze Zahl, und der Inbegriff X aller durch ^ rational 

 darstellbaren Zahlen ist ein Körper r'^ Grades, in welchem wir die 

 Normen, Spuren und Discriminanten resp. durch N', S' und J' bezeich- 

 nen wollen. Aus den Gleichungen (7) folgt nun zunächst 



(7') i'«^cr+4"S'+ • ■ • 



und da die Zahlen 1, ^. ^' . . . |'~^ eine Basis von X bilden, so ist 

 (zufolge §. 1, (11)) 



(10') S'{i"\ = 4-) + c(»'+')4- . . . 4-4'^-" = s„„ 



mithin (zufolge §. 1, (16)) die Determinante 



E = ^, . . . o 



oder (zufolge §. 1, (10)) 



(14) E = {-lf^N'{P'{^)). 



C2 



