20 R. DEDEKIND, 



Da nun P'{t) und P{t) relative Primfunctionen nach dem Modul p sind 

 (§. 3, Anmerkung), so giebt es bekanntlich (C. §. 4) zwei Functionen 

 (p[i), y^{t), welche der Congruenz 



,p{t)P'{t) + xp{t)P[t) = 1 (mod.;>) 

 genügen, aus welcher 



9)(|)P'(^) = 1 (mod.jo) 



folgt ; mithin ist P'(^) relative Primzahl zu p ; dasselbe gilt folglich 

 (Z. §. 174, 2. und 8.) von ihrer Norm, also (zufolge (14)) auch von E 

 und (zufolge (l3)) von JR, w. z. b. w. 



Dass die aus den Zahlen gebildete Determinante E nicht durch 

 p theilbar ist, kann man auch ohne Einführung des Körpers X auf 

 folgendem Wege beweisen. Zunächst sind aus den Definitionen (1), (7), 

 (11) die bekannten Formeln abzuleiten: 



(15) + • • • = 0 

 und, wenn k<^r, 



(16) 6i. ~h «1 + • • • -f- % ^0 = (»• — «A- 



Drückt man nach (7) die einzelnen Glieder des durch P{t) theilbaren 

 Aggregates 



P(?)r" = r+'-H-air+'-i+ . . . +a,r 



durch die niedrigsten Potenzen von t aus. so ergiebt sich 



(17) + . . . -f-a,cr' = 0, 



wo h jede beliebige der Zahlen 0, i, 2 . . . (?• — 1); ersetzt man hierin 

 m durch {m-\-h) und summirt die so entstandenen Gleichungen für alle 

 Werthe von h, so erhält man unter Berücksichtigung von (11) die 

 Gleichung (15). Ist ferner w<r, so folgt aus (7), dass 



(18) (t^ ^ 1- ode^. ^ Q 



ist, je nachdem m und h gleich oder verschieden sind'); ist nun k eine 



1) Hieraus uml aus (17) folg;t, dass das allgemeine Integral der Differenzen- 



