ÜBER DIE DISCRIMINANTEN ENDLICHER KORPER. 23 



und wenn dieselbe durch die Primzahl p theilbar ist, so giebt es (zu- 

 folge §. 5, 1.) n ganze rationale Zahlen x^, Xo . . ■ welche die Con- 

 gruenzen 



Xi 8 (o?i tüi) -\-X2Si^oj2(o^ -\- . . . + X,, S (a>„ Wi) = 0 



Xi 8 (cüi CO2) -i-x^S ; tÜ2 C02 ( + . . . + {(^n (^2) = 0 (mod. p) 



a?i>S(wi(ü„) + a?2Ä(«>2to„)+ . . . -\-x„S{(o„w„) = 0 



befriedigen und nicht alle durch p theilbar sind; setzt man nun 



= ^1 (Ol + jr2 tü2 + . . . + X,, tü„ , 



so ist /u nicht theilbar durch p, und die vorstehenden Congruenzen 

 sind identisch mit den folgenden: 



S{jU(Oi) = 0, S{iu(02) = 0 . . . S{/u(o,,) = 0 (mod.jo); 



bezeichnet man mit Äj, • • • beliebige ganze rationale Zahlen und 

 setzt 



CO = /tj CÜj -f- A2 tÜ2 + • . • + h„ co„ , 



so ist 00 eine willkürliche Zahl in 0, und die vorstehenden Con- 

 gruenzen lassen sich zusammenfassen in die folgende 



S{/u(o) = 0 (mod. p) ; 



bedeutet lo' ebenfalls eine willkürliche Zahl in 0, so folgt hieraus 

 auch 



8 [jU(o -\- pco' j = 0 (mod.jo). 



Der Inbegriff n aller Zahlen v von der Form jU(i}-{-p(jo' ist der grösste 

 gemeinschaftliche Theiler der beiden Hauptideale o/u, op , also ein Thei- 

 1er von op und zwar ein echter (d. h. verschieden von op), weil /u, 

 nicht durch p theilbar ist, und alle in diesem Ideal n enthaltenen 

 Zahlen v genügen der Bedingung 



S{v) = 0 [mod.p). 



Umgekehrt würde sich leicht zeigen lassen, dass hieraus die Theilbar- 

 keit von D durch p folgt. 



Nehmen wir nun an, unser Satz sei unrichtig, d. h. op sei ein 



