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n, so ist n gewiss eine Ordnung, nämlich die von n selbst, d. h. es ist 



0 n 



(2) n*'=:- = n; 



die erste Eigenschaft besagt nämlich, dass durch tt, mithin n durch 

 den Quotient n" theilbar ist, und da zufolge der zweiten Eigenschaft 

 n" durch nn**, also zufolge (1) durch n theilbar ist, so ist n = n**. Zu- 

 gleich folgt aus (1), wenn o = n gesetzt wird, 



(3) = n . 



Diese allgemeinen Betrachtungen wenden wir auf folgenden spe- 

 ciellen Fall an. Es sei i2 wieder ein endlicher Körper n^^"- Grades, 

 und a, B seien zwei endliche Moduln, deren Basen zu- 

 gleich Basen von £1 sind; man überzeugt sich dann leicht, dass 

 die Moduln 



(4) a-f-t), Q — 6, ab, -, a" 



a 



von derselben Beschaffenheit sind. Ist nämlich 



(5) a = [«, , «2 • • • ««] , b -= [/ii , /?2 . . . , 

 so folgt 



a 4- b = [«1 , «2 . . . cr„ , /?i , . . . /?„] , 



und nach einem bekannten Satze (Z. §. 165. S. 490) kann diese aus 2n 

 Zahlen a^. bestehende Basis auf eine irreductibele , aus n Zahlen 

 bestehende reducirt werden. Da ferner jede Zahl des Körpers i2, also 

 auch jede Zahl in b durch Multiplication mit einem von Null verschie- 

 denen rationalen Factor in eine Zahl des Moduls a verwandelt werden 

 kann, so besitzt nach einem anderen Satze (Z. §. 165. S. 486) auch 

 n — b eine aus n Zahlen bestehende , irreductibele Basis. Für das Pro- 

 (luct und den Quotienten kann man dasselbe in ähnlicher Weise direct 

 daxthuu, aber wir ziehen es vor, diese Fälle auf die beiden vorio-en 

 durch folgenden Satz zurückzuführen: 



Das l'roduct ah ist der grösste gemeinschaftliche Theiler der Moduln 

 6) b«! . b«o . . . bor,, , 



